Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 127 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
a = 2^5 · 3 · 7^2 ve b = 2^3 · 3^2 · 7 olduğuna göre EKOK(a, b) kaçtır?
Doğru cevap: E — 14112
EKOK'ta tüm asal çarpanların büyük üsleri alınır: 2 için max(5, 3) = 5, 3 için max(1, 2) = 2, 7 için max(2, 1) = 2. EKOK(a, b) = 2^5 · 3^2 · 7^2 = 14112 bulunur. Üslerin küçükleri alınırsa EBOB = 168 bulunur ve A şıkkı işaretlenir. 7'nin üssü 2 yerine 1 alınırsa 2^5 · 3^2 · 7 = 2016 bulunur ve B şıkkı işaretlenir.
Bir istasyondan üç tren sırasıyla 20, 25 ve 30 dakikada bir kalkmaktadır. Saat 07.30'da üç tren birlikte kalktığına göre üç tren bir sonraki sefer saat kaçta birlikte kalkar?
Doğru cevap: C — 12.30
Birlikte kalkış aralığı EKOK'tur. 20 = 2^2 · 5, 25 = 5^2, 30 = 2 · 3 · 5 olduğundan EKOK(20, 25, 30) = 2^2 · 3 · 5^2 = 300 dakika = 5 saattir. 07.30 + 5 saat = 12.30 bulunur. EKOK 300 yerine 180 dakika hesaplanırsa A şıkkı işaretlenir.
Bir kenarı 96 m, diğer kenarı 144 m olan dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın çevresine, köşelerde birer tane bulunacak ve aralıklar eşit ve en uzun olacak biçimde kazık çakılacaktır. Buna göre kaç kazık çakılır?
Doğru cevap: B — 10 kazık
Aralık kenarları tam bölmelidir; en uzun aralık EBOB'dur. 96 = 2^5 · 3 ve 144 = 2^4 · 3^2 olduğundan EBOB(96, 144) = 2^4 · 3 = 48 m'dir. Çevre 2 · (96 + 144) = 480 m olduğundan kazık sayısı 480 / 48 = 10 bulunur. Kazıklar arasındaki uzaklık olan 48 m, kazık sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. Dört köşedeki kazıklar sayıma katılmazsa 6 bulunur ve A şıkkı işaretlenir.
Ayrıtları 45 cm, 60 cm ve 75 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir köpük blok, hiç artmayacak biçimde özdeş küplere ayrılacaktır. Küpler mümkün olan en büyük boyutta olduğuna göre kaç küp elde edilir?
Doğru cevap: C — 60 küp
Küpün ayrıtı üç ölçüyü de tam bölmelidir; en büyüğü EBOB'dur. 45 = 3^2 · 5, 60 = 2^2 · 3 · 5, 75 = 3 · 5^2 olduğundan EBOB = 3 · 5 = 15 cm'dir. Küp sayısı 3 · 4 · 5 = 60 olur. Küpün ayrıt uzunluğu olan 15 cm, küp sayısı sanılırsa B şıkkı işaretlenir. Ayrıt başına düşen küp sayıları çarpılacak yerde toplanırsa 3 + 4 + 5 = 12 bulunur ve A şıkkı seçilir.
Bir x doğal sayısı için EBOB(x, 42) = 14 ve EKOK(x, 42) = 210'dur. Buna göre x kaçtır?
Doğru cevap: D — 70
EBOB · EKOK = x · 42 bağıntısı yazılır: 14 · 210 = 2940 = x · 42. Buradan x = 70 bulunur. Kontrol: 70 = 2 · 5 · 7 ve 42 = 2 · 3 · 7; EBOB(70, 42) = 14, EKOK(70, 42) = 210. Verilen 42 sayısı cevap sanılırsa C şıkkı işaretlenir. Verilen EBOB değeri olan 14 cevap sanılırsa A şıkkı işaretlenir.
8 ve 12 ile bölündüğünde 5 kalanını veren en büyük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: B — 77
Sayıdan 5 çıkarılırsa 8 ve 12'ye tam bölünür. 8 = 2^3 ve 12 = 2^2 · 3 olduğundan EKOK(8, 12) = 2^3 · 3 = 24'tür. Sayılar 24k + 5 biçimindedir: 5, 29, 53, 77, ... İki basamaklı en büyüğü k = 3 için 77 bulunur. EKOK'un katı olan 96 yazılıp 5 kalanı eklenmezse C şıkkı işaretlenir. İlk uygun sayı olan 29 alınıp 'en büyük' koşulu gözden kaçırılırsa A şıkkı işaretlenir.
Oranı 5/8 olan iki doğal sayının EBOB'u 9'dur. Buna göre bu iki sayının EKOK'u kaçtır?
Doğru cevap: E — 360
5 ile 8 aralarında asal olduğundan sayılar 5 · 9 = 45 ve 8 · 9 = 72'dir. EBOB · EKOK = a · b bağıntısından 9 · EKOK = 45 · 72 = 3240 yazılır; EKOK = 360 bulunur. Verilen EBOB değeri olan 9 cevap sanılırsa A şıkkı işaretlenir. Sayıların kendisi (45 ve 72) toplanırsa 117 bulunur ve C şıkkı seçilir.
Aralarında asal olan iki basamaklı iki doğal sayının EKOK'u 391'dir. Buna göre bu iki sayının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 40
Aralarında asal sayılarda EBOB = 1 olduğundan EBOB · EKOK = a · b bağıntısı a · b = 391 verir. 391 = 17 · 23 biçiminde asal çarpanlarına ayrılır. Çarpanları 1 · 391 ve 17 · 23'tür; ikisi de iki basamaklı olan tek ikili 17 ve 23'tür. Toplam 17 + 23 = 40 bulunur. EKOK değeri olan 391 doğrudan cevap sanılırsa E şıkkı işaretlenir. Toplam yerine fark alınırsa 23 - 17 = 6 bulunur ve A şıkkı işaretlenir.
Bir doğal sayı 5 ile bölündüğünde 3, 6 ile bölündüğünde 4, 8 ile bölündüğünde 6 kalanını vermektedir. Bu koşulu sağlayan en küçük pozitif doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: A — 118
Her bölmede bölen ile kalan farkı aynıdır: 5 - 3 = 6 - 4 = 8 - 6 = 2. Bu durumda sayının 2 fazlası 5, 6 ve 8'e tam bölünür. 5 = 5, 6 = 2 · 3, 8 = 2^3 olduğundan EKOK(5, 6, 8) = 2^3 · 3 · 5 = 120'dir. Sayı 120k - 2 biçimindedir; en küçük pozitif değeri k = 1 için 118 olur. Sayının kendisi yerine EKOK = 120 yazılırsa B şıkkı işaretlenir. 2 çıkarılacak yerde 2 eklenirse C şıkkı seçilir.
a = 2^x · 3^2 · 7 ve b = 2^3 · 3^y · 7^2 sayıları için EBOB(a, b) = 2^2 · 3^2 · 7 ve EKOK(a, b) = 2^3 · 3^5 · 7^2'dir. Buna göre x · y çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: D — 10
2'nin üssü için min(x, 3) = 2 ve max(x, 3) = 3 olmalıdır; buradan x = 2 bulunur. 3'ün üssü için min(2, y) = 2 ve max(2, y) = 5 olmalıdır; buradan y = 5 bulunur. 7'nin üsleri min(1, 2) = 1 ve max(1, 2) = 2 ile uyumludur. Sonuç x · y = 10'tir. x · y yerine x + y hesaplanırsa B şıkkı işaretlenir. Yalnız y değeri bulunup çarpma unutulursa A şıkkı seçilir.
3, 4 ve 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren ve 11 ile kalansız bölünebilen en küçük pozitif doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: E — 242
Sayıdan 2 çıkarılırsa 3, 4 ve 5'e tam bölünür. 3 = 3, 4 = 2^2, 5 = 5 olduğundan EKOK(3, 4, 5) = 2^2 · 3 · 5 = 60'tır. Sayı 60k + 2 biçimindedir: 62, 122, 182, 242, ... Bunlardan 11'e tam bölünen ilki 242'dir (242 = 11 · 22). 11 ile bölünme koşulu göz ardı edilip ilk aday olan 62 alınırsa B şıkkı işaretlenir. Yalnız EKOK = 60 yazılırsa A şıkkı seçilir.
EBOB'u 8, çarpımı 1920 olan kaç farklı (a, b) doğal sayı ikilisi yazılabilir? (a < b alınacaktır.)
Doğru cevap: A — 4 ikili
EBOB(a, b) = 8 olduğundan a = 8m, b = 8n ve EBOB(m, n) = 1 yazılır. a · b = 64 · m · n = 1920 olduğundan m · n = 30'dur. m < n ve EBOB(m, n) = 1 koşullarını sağlayan (m, n) ikilileri (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)'dır. Buna göre 4 farklı ikili vardır: (8, 240), (16, 120), (24, 80), (40, 48). m · n = 30 eşitliğindeki 30 değeri doğrudan cevap sanılırsa E şıkkı işaretlenir. Sıra gözetilerek (a, b) ve (b, a) ayrı sayılırsa C şıkkı bulunur.
Bir kavşakta üç ışık sırasıyla 40, 60 ve 90 saniyede bir yanmaktadır. Saat 10.00'da üçü birlikte yandığına göre 10.00 ile 11.00 arasında (10.00 hariç) kaç kez birlikte yanarlar?
Doğru cevap: A — 10 kez
40 = 2^3 · 5, 60 = 2^2 · 3 · 5, 90 = 2 · 3^2 · 5'dır. EKOK(40, 60, 90) = 2^3 · 3^2 · 5 = 360 saniye = 6 dakikadır. 10.00 - 11.00 arası 60 dakikadır; 60 / 6 = 10 kez birlikte yanarlar (10.00 sayılmaz). Birlikte yanma aralığı olan 360 saniye, yanma sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. 10.00'daki ilk yanış da sayıya katılırsa B şıkkı bulunur.
Boyutları 15 cm ve 20 cm olan özdeş dikdörtgen fayanslar, üst üste binmeden ve boşluk kalmadan yan yana dizilerek bir kare oluşturulacaktır. Oluşturulabilecek en küçük kare için kaç fayans gerekir?
Doğru cevap: B — 12 fayans
Karenin kenarı hem 15'in hem 20'nin katı olmalıdır; en küçüğü EKOK'tur. 15 = 3·5 ve 20 = 2^2·5 olduğundan EKOK(15, 20) = 2^2·3·5 = 60 cm'dir. Yatayda 60 / 15 = 4, dikeyde 60 / 20 = 3 fayans dizilir; toplam 4·3 = 12 fayans gerekir. Karenin kenar uzunluğu olan 60 cm, fayans sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. Yatay ve dikey fayans sayıları çarpılacak yerde toplanırsa 4 + 3 = 7 bulunur ve A şıkkı işaretlenir.
Boyutları 6 cm, 9 cm ve 15 cm olan özdeş dikdörtgenler prizması biçimindeki tuğlalar, aralarında boşluk kalmayacak biçimde dizilerek bir küp oluşturulacaktır. Oluşturulabilecek en küçük küpün bir ayrıtı kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 90
Küpün ayrıtı, tuğlanın üç boyutunun da katı olmalıdır; en küçük küp için EKOK alınır. 6 = 2 · 3, 9 = 3^2 ve 15 = 3 · 5 olduğundan EKOK(6, 9, 15) = 2 · 3^2 · 5 = 90 cm bulunur. Yalnızca iki boyutu dikkate alıp EKOK(9, 15) = 45 diyen öğrenci C şıkkını, en uzun ayrıtı yeterli sanan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap E.
