Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK — Test 6

Doğru cevap: B — 2/3

Pay ve payda asal çarpanlarına ayrılır: 252 = 2^2 · 3^2 · 7 ve 378 = 2 · 3^3 · 7'dir. EBOB(252, 378) = 2 · 3^2 · 7 = 126 olduğundan kesrin pay ve paydası 126'ya bölünür: 252 / 126 = 2 ve 378 / 126 = 3 bulunur, yani sonuç 2/3'tür. Yalnızca 2 ile sadeleştirip 126/189'da duran öğrenci seçeneklerde bir karşılık bulamaz; sadeleştirmeyi 9 ve 7 ile de sürdürmek gerekir. Cevap B.

Doğru cevap: A — 14 ve 21

Aralarında asal olmak, EBOB'un 1 olması demektir. EBOB(8, 15) = 1, EBOB(9, 16) = 1, EBOB(12, 25) = 1 ve EBOB(20, 27) = 1'dir. 14 = 2 · 7 ile 21 = 3 · 7 sayılarının ortak çarpanı 7 olduğundan EBOB(14, 21) = 7'dir, yani bu çift aralarında asal değildir. İki sayının ikisinin birden asal olmasını arayan öğrenci C gibi bileşik sayılardan oluşan bir çifti yanlışlıkla eler; oysa 9 ile 16 aralarında asaldır. Cevap A.

Doğru cevap: E — 16 ve 27

EBOB'un 1 olması, sayıların ortak asal çarpanının bulunmaması demektir. EBOB(6, 9) = 3, EBOB(10, 15) = 5, EBOB(12, 18) = 6 ve EBOB(14, 35) = 7'dir. 16 = 2^4 ile 27 = 3^3 sayılarının ortak asal çarpanı yoktur, yani EBOB(16, 27) = 1'dir. Aralarında asal olmak için sayıların kendilerinin asal olması gerekmez, bu yüzden 16 ile 27 çifti elenmemelidir; 14 = 2 · 7 ile 35 = 5 · 7 sayılarındaki ortak 7 çarpanını gözden kaçıran öğrenci ise D şıkkını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: C — 6

İki sayının ortak bölenleri, EBOB'larının bölenleridir. 56 = 2^3 · 7 ve 84 = 2^2 · 3 · 7 olduğundan EBOB(56, 84) = 2^2 · 7 = 28'dir. 28 = 2^2 · 7 sayısının pozitif tam bölen sayısı (2 + 1)(1 + 1) = 6'dır; bu bölenler 1, 2, 4, 7, 14 ve 28'dir. 56'nın bölen sayısı olan 8'i yazan öğrenci D şıkkını işaretler; oysa ortak bölenler EBOB üzerinden sayılır. Cevap C.

Doğru cevap: A — 30 kez

18 = 2 · 3^2, 24 = 2^3 · 3, 30 = 2 · 3 · 5'dur. EKOK(18, 24, 30) = 2^3 · 3^2 · 5 = 360 saniye = 6 dakikadır. 09.00 - 12.00 arası 180 dakikadır; 180 / 6 = 30 kez birlikte çalarlar (09.00 sayılmaz). Birlikte çalma aralığı olan 360 saniye, çalma sayısı sanılırsa E şıkkı işaretlenir. 09.00'daki ilk çalış da sayıya katılırsa B şıkkı bulunur.

Doğru cevap: D — 36

Gemilerin yeniden aynı gün yola çıkması için geçen süre hem 12'nin hem 18'in katı olmalıdır; en azı EKOK'tur. 12 = 2^2 · 3 ve 18 = 2 · 3^2 olduğundan EKOK(12, 18) = 2^2 · 3^2 = 36 gün bulunur. EBOB alan öğrenci A şıkkını, iki sayıyı doğrudan çarpan öğrenci 12 · 18 = 216 işleminden E şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: D — 6

EBOB(a, b) = 12 olduğundan a sayısı 12'nin, dolayısıyla 6'nın katıdır. EBOB(b, c) = 18 olduğundan c sayısı 18'in, dolayısıyla yine 6'nın katıdır. Her ikisi de 6'nın katı olduğuna göre EBOB(a, c) en az 6 olabilir. Bu değere ulaşıldığını gösteren bir örnek a = 12, b = 36, c = 18'dir: EBOB(12, 36) = 12, EBOB(36, 18) = 18 ve EBOB(12, 18) = 6'dır. İki sayının ortak çarpanı bulunmayabileceğini düşünen öğrenci A şıkkını, yalnızca 12 ile 18'in ortak asal çarpanı olan 3'ü yazan öğrenci C şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: A — 42

14 = 2 · 7 ve 21 = 3 · 7'dir. EKOK'ta tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır: 2 · 3 · 7 = 42 bulunur. Sayıları doğrudan çarpan öğrenci 14 · 21 = 294 sonucuna ulaşıp E şıkkını işaretler; oysa ortak çarpan olan 7 yalnızca bir kez alınmalıdır. Cevap A.

Doğru cevap: E — 6

EKOK 60 olduğuna göre x sayısı 60'ın bir bölenidir. 60 = 2^2 · 3 · 5 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. Bunlardan 12 ile EKOK'u 60 olanlar, 5 çarpanını içerenlerdir: 5, 10, 15, 20, 30 ve 60 olmak üzere 6 sayı; kalan bölenlerin 12 ile EKOK'u 12'de kalır. x'in 12'den büyük olması gerektiğini sanan öğrenci 5 ile 10'u listeden çıkarır, geriye kalan 15, 20, 30 ve 60'ı sayıp 4 bulur ve C şıkkını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: D — 144

Ortak katların en küçüğü EKOK'tur. 36 = 2^2 · 3^2 ve 48 = 2^4 · 3 olduğundan EKOK(36, 48) = 2^4 · 3^2 = 144 bulunur. Ortak çarpanların küçük üslerini alan öğrenci EBOB'u hesaplayıp A şıkkını işaretler; iki sayıyı doğrudan çarpan öğrenci ise 1728 gibi gereksiz büyük bir değere ulaşır. Cevap D.

Doğru cevap: C — 5

İki otobüsün birlikte kalkma aralığı EKOK(24, 36) = 72 dakikadır. 09.00 ile 15.00 arası 6 saat, yani 360 dakikadır ve 360 / 72 = 5 olduğundan bu aralıkta 5 kez birlikte kalkarlar (10.12, 11.24, 12.36, 13.48 ve 15.00). Başlangıç saati olan 09.00'ı da sayıma katan öğrenci D şıkkını işaretler; oysa soruda 09.00 hariç tutulmuştur. Cevap C.

Doğru cevap: C — 3

Üç ilacın yeniden aynı anda verilmesi için geçen süre 6, 8 ve 9'un ortak katı olmalıdır. 6 = 2 · 3, 8 = 2^3 ve 9 = 3^2 olduğundan EKOK(6, 8, 9) = 2^3 · 3^2 = 72 saattir. 72 / 24 = 3 olduğundan cevap 3 gündür. 9'u hesaba katmayıp yalnızca 6 ile 8'in EKOK'unu alan öğrenci 24 saat, yani 1 gün bulup A şıkkına yönelir; 72 saati güne çevirmeyi unutan öğrenci ise sonucu saat cinsinden bırakır. Cevap C.

Doğru cevap: D — 1260

EBOB'da ortak çarpanların küçük üsleri alınır: EBOB = 2^2 · 3^3 = 108. EKOK'ta tüm çarpanların büyük üsleri alınır: EKOK = 2^4 · 3^5 · 5 · 7 = 136080. Bölüm doğrudan üslerin farkından da bulunabilir: 2^(4-2) · 3^(5-3) · 5 · 7 = 4 · 9 · 35 = 1260. 3'ün üslerinin farkını (3^2 = 9) bölüme katmayı unutan öğrenci 4 · 5 · 7 = 140 sonucuyla B şıkkına yönelir. Cevap D.

Doğru cevap: D — 18144

EKOK'ta görülen tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır: 2 için max(5, 3) = 5, 3 için max(2, 4) = 4 ve yalnızca a sayısında bulunan 7 çarpanı da alınır. Buradan EKOK = 2^5 · 3^4 · 7 = 32 · 81 · 7 = 18144 bulunur. 2'nin üssünü 4 alan öğrenci 9072 sonucuna ulaşıp C şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: A — 7

EBOB'un 8 olması için x sayısı 8'in katı olmalı, ancak x ile 24'ün ortak çarpanı 3'ü içermemelidir; yani x = 8m biçiminde ve m 3'ün katı olmamalıdır. İki basamaklı 8'in katları 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ve 96'dır. Bunlardan 24, 48, 72 ve 96 sayıları aynı zamanda 3'ün katı olduğundan EBOB'u 24 verir ve elenir. Geriye 16, 32, 40, 56, 64, 80, 88 olmak üzere 7 sayı kalır. 3 koşulunu gözden kaçırıp tüm iki basamaklı 8 katlarını sayan öğrenci daha büyük bir değere, sadece 96'yı eleyen öğrenci ise D şıkkına yönelir. Cevap A.