Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Temel Kavramlar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 128 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay7 orta4 zor
1! + 2! + 3! + ... + 20! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Doğru cevap: E — 3
5! = 120'den itibaren her faktöriyel hem 2 hem 5 çarpanı içerdiğinden birler basamağı 0'dır. Bu nedenle yalnızca ilk dört terim etkilidir: 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33. 33 sayısının birler basamağı 3'tür. Yalnızca ilk üç terim toplanırsa (1 + 2 + 6 = 9) yanlış olarak 9 bulunur. Cevap: 3.
1'den 50'ye kadar olan (50 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi ne 2 ile ne de 3 ile tam bölünür?
Doğru cevap: E — 17
2 ile bölünenler 25 tane, 3 ile bölünenler 16 tanedir; hem 2 hem 3 ile, yani 6 ile bölünenler 8 tanedir. İçlerinden en az biriyle bölünenler: 25 + 16 − 8 = 33. Aranan sayı: 50 − 33 = 17. Ortak elemanlar geri eklenmezse 50 − 25 − 16 = 9 gibi yanlış bir sonuç bulunur. Cevap: 17.
a, b ve c pozitif tam sayıları için a < b < c ve a + b + c = 20 veriliyor. Buna göre a·b·c çarpımının en küçük değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — 34
Toplamı sabit olan sayıların çarpımı, sayılar birbirinden uzaklaştıkça küçülür. a < b < c koşuluyla en uzak üçlü 1, 2, 17'dir: 1·2·17 = 34. Başka denemeler daha büyüktür: 1·3·16 = 48, 2·3·15 = 90, 1·4·15 = 60. Sayıları 2, 3, 15 seçen öğrenci 90 bulur; oysa 1 kullanılarak çarpım daha da küçültülebilir. Cevap: 34.
1·1! + 2·2! + 3·3! + 4·4! + 5·5! toplamının sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 719
Terimler tek tek hesaplanır: 1·1 = 1, 2·2 = 4, 3·6 = 18, 4·24 = 96, 5·120 = 600. Toplam = 1 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719. Aynı sonuç k·k! = (k+1)! − k! özdeşliğinden de görülür: toplam 6! − 1! = 720 − 1 = 719'dur. Bu özdeşlikte sondaki −1 unutulursa 720 bulunur; ayrıca yalnızca faktöriyeller toplanırsa (1 + 2 + 6 + 24 + 120) 153 elde edilir. Cevap: 719.
Aşağıdaki sayılardan hangisi tam sayı değildir?
Doğru cevap: E — √45
−∛8 = −2, 0/7 = 0, 21/7 = 3 ve 24/6 = 4 olup bunların hepsi tam sayıdır. √45 = 3√5 olup √5 irrasyonel olduğundan √45 bir tam sayı değildir (6 < √45 < 7). "−∛8" şıkkı, negatif işaretli sayıların tam sayı olamayacağı yanılgısıyla seçilir; oysa −2 bir tam sayıdır. Cevap: √45.
Ardışık üç çift sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün 2 katından 18 fazladır. Buna göre bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Doğru cevap: E — 16
En küçük sayı x olsun; sayılar x, x+2, x+4 olur. Toplam 3x + 6, en küçüğün 2 katından 18 fazla olduğuna göre 3x + 6 = 2x + 18 → x = 12. Sayılar 12, 14, 16'dır; en büyüğü 16'dır. Bulunan x değeri doğrudan işaretlenirse 12, ortadaki sayı seçilirse 14 gibi yanlış cevaplar ortaya çıkar. Cevap: 16.
a ve b birer tek sayı olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi daima tektir?
Doğru cevap: C — a·b + 2
a ve b tek olduğundan a·b tektir; 2 çift olduğu için a·b + 2 = tek + çift = tektir. Diğerleri: a + b = tek + tek = çift; a·b + a = tek + tek = çift; a^2 + b = tek + tek = çift; 3a + 5b = tek + tek = çift. "a + b" şıkkı, iki tek sayının toplamının da tek olacağı yanılgısından seçilir. Cevap: a·b + 2.
p ve q asal sayılardır. p − q = 11 olduğuna göre p + q toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 15
İki asalın farkı 11 gibi tek bir sayı ise asallardan biri çift olmalıdır; tek çift asal 2'dir. q = 2 alınır: p = 11 + 2 = 13 ve 13 asaldır. p + q = 13 + 2 = 15. Soru toplam yerine çarpım olarak okunursa 13·2 = 26 gibi yanlış bir sonuç işaretlenir. Cevap: 15.
−12 ile 9 arasındaki (ikisi de dâhil) tüm tam sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — −33
−9 ile 9 arasındaki sayıların toplamı simetri gereği 0'dır. Geriye −12, −11 ve −10 sayıları kalır: −12 + (−11) + (−10) = −33. Toplam −33'tür. Simetriye güvenip artan üç terimi eklemeyi unutan öğrenci 0 bulur; toplama −12 yerine −11'den başlanırsa −21 elde edilir. Cevap: −33.
50 ile 70 arasındaki asal sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 240
50 ile 70 arasındaki asal sayılar 53, 59, 61 ve 67'dir. Toplam = 53 + 59 + 61 + 67 = 240. Bir asalın atlanması hataya yol açar: 67 atlanırsa 173, 61 atlanırsa 179, 53 atlanırsa 187 bulunur. Ayrıca 57 = 3·19 asal sanılırsa 297 elde edilir. Cevap: 240.
x bir gerçek sayı ve [x] = 4 olduğuna göre [2x] ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: D — 17
[x] = 4 ise 4 ≤ x < 5, buradan 8 ≤ 2x < 10 elde edilir. Bu aralıkta [2x] yalnızca 8 veya 9 olabilir: 4 ≤ x < 4,5 için 8; 4,5 ≤ x < 5 için 9. Değerlerin toplamı: 8 + 9 = 17. [2x] = 2·[x] = 8 sanılıp tek bir değer alınırsa 8 işaretlenir; oysa x'in ondalık kısmı 0,5'ten büyük olduğunda [2x] = 9 olur. Cevap: 17.
[√85] + [√24] işleminin sonucu kaçtır? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: C — 13
9^2 = 81 < 85 < 100 = 10^2 olduğundan 9 < √85 < 10, yani [√85] = 9'dur. 4^2 = 16 < 24 < 25 = 5^2 olduğundan 4 < √24 < 5, yani [√24] = 4'tür. Toplam: 9 + 4 = 13. √24 ≈ 4,9 değeri en yakın tam sayıya yuvarlanıp 5 alınırsa yanlış olarak 14 bulunur; tam değer fonksiyonu yuvarlama yapmaz, aşağı iner. Cevap: 13.
x bir gerçek sayı olmak üzere (x − 3)^2 + 7 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: B — 7
Bir gerçek sayının karesi en küçük 0 olabilir; (x − 3)^2 ≥ 0'dır. Eşitlik x = 3 için sağlanır ve ifade 0 + 7 = 7 değerini alır. Öyleyse en küçük değer 7'dir. x = 0 alınarak 9 + 7 = 16 hesaplanırsa hata yapılır; ifadeyi küçülten değer x = 0 değil, x = 3'tür. Cevap: 7.
20 + 21 + 22 + ... + 60 toplamının sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 1640
Terim sayısı 60 − 20 + 1 = 41'dir. Toplam = (20 + 60)·41/2 = 80·41/2 = 40·41 = 1640. Terim sayısı 60 − 20 = 40 alınırsa toplam 80·40/2 = 1600 olarak yanlış hesaplanır. Cevap: 1640.
Ardışık üç tam sayının toplamı, bu sayıların en büyüğünün 4 katından 13 eksiktir. Buna göre sayıların en küçüğü kaçtır?
Doğru cevap: C — 8
Ortadaki sayı x olsun; sayılar x−1, x, x+1 ve toplamları 3x'tir. 3x = 4·(x + 1) − 13 → 3x = 4x − 9 → x = 9. Sayılar 8, 9, 10'dur; en küçüğü 8'dir. Denklemden çıkan x = 9 değeri doğrudan işaretlenirse hata yapılır; 9 ortadaki sayıdır. Cevap: 8.
