Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Temel Kavramlar konusundan 8 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 128 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 9. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay3 orta4 zor
Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı, ortadaki sayının 8 katına eşittir. Buna göre bu üç sayının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 9
Sayılar x−1, x, x+1 olsun: (x−1)·x·(x+1) = 8x. x pozitif olduğundan iki yan x ile sadeleştirilir: (x−1)(x+1) = 8 → x^2 − 1 = 8 → x^2 = 9 → x = 3. Sayılar 2, 3, 4'tür (2·3·4 = 24 = 8·3) ve toplamları 2 + 3 + 4 = 9'dur. Sayılar 3, 4, 5 sanılırsa toplam 12 bulunur; oysa 3·4·5 = 60 ≠ 8·4'tür. Cevap: 9.
Toplamları 24 olan iki asal sayının çarpımı en çok kaç olabilir?
Doğru cevap: D — 143
Toplamı 24 olan asal ikilileri: 5 + 19, 7 + 17, 11 + 13. Çarpımları sırasıyla 95, 119 ve 143'tür. Toplamı sabit olan sayılarda çarpım, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür; en büyük çarpım 11·13 = 143'tür. İkililerden 7 ve 17 seçilirse 119 bulunur; 11 ile 13'ün de asal olduğu gözden kaçırılmamalıdır. Cevap: 143.
p, q ve r birbirinden farklı asal sayılardır. p < q < r ve p + q + r = 32 olduğuna göre r'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 23
Üç tek sayının toplamı tek olacağından, toplamı 32 gibi bir çift sayı yapabilmek için asallardan biri çift olmalıdır; tek çift asal 2 olduğundan p = 2 ve q + r = 30 bulunur. 30'u iki farklı tek asalın toplamı olarak yazmanın yolları 7 + 23, 11 + 19 ve 13 + 17'dir; buradan r'nin alabileceği değerler 23, 19 ve 17'dir, en büyüğü 23'tür. E seçeneğindeki 29, kalan iki sayının 2 + 1 olarak düşünülmesinden doğar, oysa 1 asal sayı değildir. B ve C seçenekleri gerçek çözümlere karşılık gelir ama arama 13 + 17 ya da 11 + 19 ayrışımında durdurulduğunda ortaya çıkar; en büyük değer aranmaktadır. Cevap D.
a, b ve c tam sayılarıdır. a·b çarpımı tek, b + c toplamı ise çifttir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle tektir?
Doğru cevap: A — a + b + c
Bir çarpımın tek olması için her iki çarpanın da tek olması gerekir; a·b tek ise a ve b tektir. Toplamın çift olması için terimlerin aynı türden olması gerekir; b tek ve b + c çift ise c de tektir. Üç tek sayının toplamı tek olacağından a + b + c kesinlikle tektir. B seçeneğinde a·b tek, c tek olduğundan tek + tek = çift elde edilir; aynı gerekçeyle C seçeneği de çifttir. E seçeneğinde a·b·c tek sayıların çarpımı olarak tektir, 1 eklenince çift olur. D seçeneğinde ise (a + c) çift, çift bir sayının herhangi bir sayıyla çarpımı çifttir. Cevap A.
a ve b gerçek sayıları için a·b < 0 ve a + b > 0 veriliyor. Buna göre, I. |a| ≠ |b| II. a − b > 0 III. a³ + b³ > 0 öncüllerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Doğru cevap: E — I ve III
a·b < 0 olması a ile b'nin zıt işaretli olmasını gerektirir. I. öncülde, |a| = |b| olsaydı zıt işaretli eşit büyüklükler a + b = 0 verirdi; bu a + b > 0 koşuluyla çelişir, dolayısıyla I kesinlikle doğrudur. III. öncülde a³ + b³ = (a + b)·(a² − ab + b²) çarpanlarına ayrılır; a·b < 0 olduğundan −ab pozitiftir ve ikinci çarpan daima pozitiftir, birinci çarpan da pozitif verildiğinden a³ + b³ > 0 kesinlikle doğrudur. II. öncül ise kesin değildir: a = −2, b = 5 alındığında her iki koşul sağlanır ama a − b = −7 < 0 olur. Bu yüzden II'yi içeren C ve D seçenekleri elenir; yalnız birini alan A ve B seçenekleri ise doğru öncüllerden birini eksik bırakır. Cevap E.
x = −3 ve y = 4 olmak üzere x²·y − x·y² işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: E — 84
Önce terimler ayrı ayrı hesaplanır: x² = (−3)² = 9 olduğundan x²·y = 9·4 = 36'dır. İkinci terimde x·y² = (−3)·4² = (−3)·16 = −48 bulunur. Çıkarma yapılırken bu terimin işaretine dikkat edilmelidir: 36 − (−48) = 36 + 48 = 84. B seçeneğindeki −12, x·y² çarpımı +48 sanılıp 36 − 48 işleminin yapılmasından doğar. C seçeneğindeki 12 ise x² ifadesinin −9 olarak alınmasından, A seçeneğindeki −84 de iki terimin yerinin değiştirilmesinden (x·y² − x²·y) kaynaklanır. Cevap E.
1'den 84'e kadar olan (84 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi 2, 3 ve 7 sayılarının hiçbiriyle tam bölünmez?
Doğru cevap: B — 24
İçerme-dışarma ilkesi uygulanır: 2'nin katları 42, 3'ün katları 28, 7'nin katları 12 tanedir. İkişerli kesişimler 6'nın katları 14, 14'ün katları 6, 21'in katları 4 tanedir; üçünün ortak katı olan 42'nin katları ise 2 tanedir. Birleşim 42 + 28 + 12 − 14 − 6 − 4 + 2 = 60 bulunur, aranan sayı 84 − 60 = 24'tür. E seçeneğindeki 60, bölünen sayıların kendisidir, yani sorunun tersi cevaplanmıştır. C seçeneğindeki 26 üçlü kesişimin geri eklenmemesinden, D seçeneğindeki 28 ise yalnızca 2 ve 3 dikkate alınıp 7'nin unutulmasından doğar. Cevap B.
x bir gerçek sayı ve [x] = −4 olduğuna göre [3x] ifadesi kaç farklı tam sayı değeri alabilir? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: C — 3
Tam değer tanımına göre [x] = −4 olması −4 ≤ x < −3 demektir. Eşitsizliğin her tarafı 3 ile çarpılırsa −12 ≤ 3x < −9 bulunur. Bu aralıkta 3x'in tam değeri −12, −11 ve −10 olmak üzere üç farklı değer alır; sağ uç açık olduğu için −9 değeri elde edilemez. A seçeneğindeki 1, [3x] = 3·[x] = −12 gibi yanlış bir özellik kullanılmasından doğar; tam değer fonksiyonunda böyle bir dağılma kuralı yoktur. D seçeneğindeki 4 ise sağ sınır olan −9'un da sayıya katılmasından kaynaklanır. Cevap C.
