Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Temel Kavramlar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 128 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay7 orta5 zor
20 ile 40 arasında kaç tane asal sayı vardır?
Doğru cevap: B — 4
20 ile 40 arasındaki asal sayılar 23, 29, 31 ve 37'dir; yani 4 tanedir. 21 = 3·7, 27 = 3^3, 33 = 3·11 ve 39 = 3·13 sayıları asal değildir. Bunlardan biri (örneğin 21) asal sanılırsa 5, ikisi asal sanılırsa 6 gibi yanlış sonuçlar bulunur. Cevap: 4.
a = 3 ve b = −2 olmak üzere (a − b)^2 − a·b işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: D — 31
a − b = 3 − (−2) = 5 olduğundan (a − b)^2 = 25'tir. a·b = 3·(−2) = −6 olduğundan −a·b = +6'dır. Sonuç: 25 + 6 = 31. a·b çarpımının negatif olduğu gözden kaçırılıp 25 − 6 işlemi yapılırsa yanlış olarak 19 bulunur. Cevap: 31.
6!/3! − 5!/4! işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: D — 115
6!/3! = 6·5·4 = 120 ve 5!/4! = 5'tir. İşlem: 120 − 5 = 115. Çıkarma işlemi unutulup yalnızca 6!/3! hesaplanırsa E şıkkındaki 120 bulunur. Cevap: 115.
Üç basamaklı en küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının farkı kaçtır?
Doğru cevap: B — 4
Üç basamaklı en küçük asal sayı 101'dir (100 çifttir). İki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir (98 çift, 99 = 9·11'dir). Fark = 101 − 97 = 4. İki basamaklı en büyük sayı olan 99 asal sanılırsa 101 − 99 = 2 gibi yanlış bir sonuç bulunur. Cevap: 4.
[x] + [2x] = 7 eşitliğini sağlayan tüm x gerçek sayılarının kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: B — [2,5 ; 3)
x'in tam kısmı 2 ise [x] = 2 olur; ondalık kısmı 0,5'ten küçükken [2x] = 4, 0,5'ten büyük veya eşitken [2x] = 5'tir. Buna göre toplam, 2 ≤ x < 2,5 için 2 + 4 = 6; 2,5 ≤ x < 3 için 2 + 5 = 7 olur. Tam kısım 3 olduğunda ise toplam en az 3 + 6 = 9'a çıkar; ara değer bulunmaz. Öyleyse eşitliği sağlayan aralık [2,5 ; 3) aralığıdır. [2 ; 2,5) aralığı, ondalık kısmın [2x] üzerindeki etkisi hesaba katılmadan seçilen çeldiricidir; bu aralıkta toplam 6'dır. Cevap: [2,5 ; 3).
a, b ve c pozitif tam sayılardır. a·b = 12 ve b·c = 20 olduğuna göre a·c çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: B — 15
a = 12/b ve c = 20/b olduğundan a·c = 240/b^2'dir; b hem 12'yi hem 20'yi bölmelidir. Ortak bölenler 1, 2 ve 4'tür: b = 1 için 240, b = 2 için 60, b = 4 için 15. En küçük değer b = 4 (a = 3, c = 5) için 15'tir. b = 2 alıp orada duran öğrenci 60 bulur; oysa b'nin en büyük ortak bölen olan 4 değerini alması çarpımı küçültür. Cevap: 15.
a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. a + b = 15 olduğuna göre a·b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Doğru cevap: E — 56
Toplamı sabit olan iki sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. 15 tek olduğundan sayılar eşit olamaz; en yakın ikili 7 ve 8'dir: 7·8 = 56. 6 ve 9 ikilisi seçilirse çarpım 54, 5 ve 10 ikilisi seçilirse 50 bulunur; bunlar 56'dan küçüktür. Cevap: 56.
n bir pozitif tam sayı olmak üzere n! + (n + 1)! = 8·n! olduğuna göre n kaçtır?
Doğru cevap: A — 6
(n + 1)! = (n + 1)·n! yazılırsa denklem n!·(1 + n + 1) = 8·n! biçimini alır. n! ≠ 0 olduğundan iki yan n! ile sadeleştirilir: n + 2 = 8 → n = 6. Denetleme: 6! + 7! = 720 + 5040 = 5760 = 8·720. Denklemin sağındaki 8 sayısı doğrudan cevap sanılırsa 8 işaretlenir; oysa 8 = n + 2 eşitliğinden n = 6 bulunur. Cevap: 6.
1'den 100'e kadar olan (100 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi tam kare değildir?
Doğru cevap: D — 90
1 ile 100 arasındaki tam kareler 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 olmak üzere 10 tanedir. Tam kare olmayanlar: 100 − 10 = 90 tanedir. 100 sayısının da tam kare olduğu gözden kaçırılıp 9 tam kare sayılırsa yanlış olarak 91 bulunur. Cevap: 90.
x bir gerçek sayı ve [x] = 7 olduğuna göre [x/2] kaçtır? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: C — 3
[x] = 7 ise 7 ≤ x < 8'dir; her iki yan 2'ye bölünürse 3,5 ≤ x/2 < 4 elde edilir. Bu aralıktaki her sayının tam değeri 3'tür. 7/2 = 3,5 değeri en yakın tam sayıya yuvarlanıp 4 alınırsa hata yapılır; tam değer daima aşağı iner. Cevap: 3.
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = 441 olduğuna göre n kaçtır?
Doğru cevap: B — 21
İlk n tek doğal sayının toplamı n^2'dir: 1 + 3 + ... + (2n − 1) = n^2. n^2 = 441 → n = 21 bulunur. Toplamın son terimi ise 2·21 − 1 = 41'dir. Son terim ile terim sayısı karıştırılırsa 41 işaretlenir; soru terim sayısını istemektedir. Cevap: 21.
a, b ve c birbirinden farklı tam sayılar olmak üzere −4 ≤ a ≤ 4, −4 ≤ b ≤ 4 ve −4 ≤ c ≤ 4 veriliyor. Buna göre a·(b + c) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: C — 20
Çarpımın büyük olması için ya a ile (b + c) birlikte pozitif ya da birlikte negatif olmalıdır. a = 4 alınırsa b ve c, a'dan ve birbirinden farklı en büyük iki değer olarak 3 ve 2 seçilir: 4·(3 + 2) = 20. a = −4 alınırsa b + c en küçük olmalıdır: −4·(−3 + (−2)) = −4·(−5) = 20. Sayıların birbirinden farklı olma koşulu unutulup b = c = 3 alınırsa 4·6 = 24 gibi geçersiz bir sonuç bulunur. Cevap: 20.
Ardışık iki pozitif tam sayının karelerinin toplamı 265 olduğuna göre bu sayıların büyüğü kaçtır?
Doğru cevap: E — 12
Sayılar x ve x+1 olsun: x^2 + (x+1)^2 = 2x^2 + 2x + 1 = 265 → x^2 + x − 132 = 0. Bu denklemin pozitif kökü x = 11'dir (11·12 = 132). Sayılar 11 ve 12'dir; büyük olan 12'dir (121 + 144 = 265). Denklemden çıkan 11 değeri doğrudan işaretlenirse hata yapılır; 11 küçük olan sayıdır. Cevap: 12.
Sayı doğrusu üzerinde A noktası −8 sayısına, B noktası 13 sayısına karşılık gelmektedir. [AB] doğru parçasını üç eş parçaya bölen noktalardan A'ya daha yakın olanı hangi sayıya karşılık gelir?
Doğru cevap: A — −1
A ile B arasındaki uzaklık 13 − (−8) = 21 birimdir; her bir eş parça 21/3 = 7 birimdir. A'ya yakın nokta: −8 + 7 = −1. Diğer bölme noktası ise −8 + 14 = 6'dır. B'ye yakın olan nokta işaretlenirse 6 bulunur; soru A'ya yakın olanı istemektedir. Cevap: −1.
x ve y tam sayılarıdır. x·y = 30 ve x < y olduğuna göre kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?
Doğru cevap: E — 8
30'un pozitif çarpan ikilileri: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6) → 4 ikili. İki negatif sayının çarpımı da pozitif olduğundan (−30, −1), (−15, −2), (−10, −3), (−6, −5) ikilileri de koşulu sağlar → 4 ikili. Toplam 4 + 4 = 8 ikili vardır. Yalnızca pozitif çarpanlar düşünülürse yanlış olarak 4 bulunur; tam sayı denildiği için negatifler de sayılmalıdır. Cevap: 8.
