Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay8 orta6 zor
6^100 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
6 ≡ -1 (mod 7) yazılır. 6^100 ≡ (-1)^100 (mod 7) olur. Üs çift olduğundan kalan 1 bulunur. Tabanın kalanı olan 6'nın doğrudan cevap sanılması (D şıkkı) hatalıdır. Cevap 1.
Gerçek sayılarda a ⊕ b = a·b + 2a + 2b + 2 biçiminde tanımlanan işlemin birim elemanı kaçtır?
Doğru cevap: D — -1
Birim eleman e için a ⊕ e = a olmalıdır: a·e + 2a + 2e + 2 = a. Düzenlenirse e(a + 2) = -(a + 2) olur. Her a için sağlanması gerektiğinden e = -1 bulunur. Tanımdaki 2 katsayısına bakılarak e = -2 (C şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap -1.
3x ≡ 5 (mod 7) denklemini sağlayan x tam sayısının 7 ile bölümünden kalanı kaçtır?
Doğru cevap: C — 4
x yerine 0, 1, 2, ... denenir: 3·4 = 12 ve 12 = 7·1 + 5'tir. Buna göre 3·4 ≡ 5 (mod 7) sağlanır. x ≡ 4 (mod 7) bulunur. Sağ taraftaki 5'in doğrudan çözüm sanılması (D şıkkı) hatalıdır; 3·5 = 15 ≡ 1 (mod 7)'dir. Cevap 4.
2^100 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
2'nin 5'e göre kuvvetleri 2, 4, 3, 1 biçiminde 4 devirlidir. 100 sayısı 4'e tam bölünür, yani kalan 0'dır; bu durum devrin son terimine karşılık gelir. 2^100 ≡ 1 (mod 5) bulunur. Üsteki kalanın 2 sanılıp 2^2 = 4 (E şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 1.
a ⊕ b = a + b + a·b işleminde 3 ⊕ x = 23 olduğuna göre x kaçtır?
Doğru cevap: D — 5
Tanım uygulanır: 3 ⊕ x = 3 + x + 3x = 3 + 4x. 3 + 4x = 23 → 4x = 20 olur. x = 5 bulunur. 4x = 20 basamağında bölme yapılmadan 20 (E şıkkı) yazılması dikkatsizlik hatasıdır. Cevap 5.
Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan 7'dir. Buna göre bu sayının 3 katının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 3
Sayı x olsun: x ≡ 7 (mod 9). Her iki taraf 3 ile çarpılır: 3x ≡ 21 (mod 9). 21 = 9·2 + 3 olduğundan kalan 3 bulunur. Katsayı ile çarpılınca kalanın değişmediğinin sanılıp 7 (E şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 3.
Bir dijital saat 07:00'yi göstermektedir. 1000 saat sonra bu saat kaçı gösterir? (Saatin sayısal değeri isteniyor.)
Doğru cevap: E — 23
1000 saatin 24 ile bölümünden kalan alınır: 1000 = 24·41 + 16. Başlangıç saatine eklenir: 7 + 16 = 23. 23 < 24 olduğundan saat 23:00, yani 23 bulunur. Kalan olan 16'nın doğrudan cevap sanılması (D şıkkı) hatalıdır; başlangıç saati eklenmelidir. Cevap 23.
a Δ b = a + 2b biçiminde tanımlanan işlemde x Δ (3 Δ 2) = 20 olduğuna göre x kaçtır?
Doğru cevap: A — 6
İçteki işlem önce yapılır: 3 Δ 2 = 3 + 2·2 = 7. x Δ 7 = x + 2·7 = x + 14 yazılır. x + 14 = 20 → x = 6 bulunur. Birleşme özelliği varmış gibi (x Δ 3) Δ 2 = x + 10 = 20 çözülürse x = 10 (B şıkkı) bulunur ki bu hatalıdır. Cevap 6.
2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100 toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
2'nin 7'ye göre kuvvetleri 2, 4, 1 biçiminde 3 devirlidir ve bir devrin toplamı 2 + 4 + 1 = 7 ≡ 0'dır. 100 = 3·33 + 1 olduğundan 33 tam devirden sonra 1 terim artar; bu terim 2^100 ≡ 2^1 = 2'dir. Kalan 2 bulunur. Terim sayısının 3'e tam bölündüğü sanılıp 0 (A şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 2.
3^27 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 9
3^5 = 243 = 11·22 + 1 olduğundan 3'ün 11'e göre devri 5'tir. 27 = 5·5 + 2 olduğundan 3^27 ≡ 3^2 (mod 11) olur. 3^2 = 9 olduğundan kalan 9 bulunur. 3^3 = 27'nin kalanı olan 5'in cevap sanılması (B şıkkı) hatalıdır. Cevap 9.
0 ≤ x < 8 koşulunu sağlayan tam sayılar arasında x^2 ≡ 1 (mod 8) denklemini sağlayan kaç tane x vardır?
Doğru cevap: A — 4
x = 0, 1, 2, ..., 7 için x^2 değerlerinin 8 ile bölümünden kalanları hesaplanır: 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1. Kalanı 1 olanlar x = 1, 3, 5, 7 değerleridir. Toplam 4 tane x vardır. Tüm tek ve çift değerlerin sağladığı sanılıp 8 (E şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 4.
2026 yılının 1 Ocak günü Perşembedir. 2026 artık yıl olmadığına göre aynı yılın 1 Mart günü haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: B — Pazar
1 Ocak ile 1 Mart arasında Ocak 31, Şubat 28 gün olmak üzere 59 gün vardır. 59 sayısının 7 ile bölümünden kalan alınır: 59 = 7·8 + 3. Perşembe gününden 3 gün ileri gidilir: Pazar bulunur. Şubat 29 gün sanılıp 60 gün üzerinden hesap yapılırsa Pazartesi (C şıkkı) bulunur ki bu hatalıdır. Cevap Pazar.
a ⊕ b = a + b - 2 biçiminde tanımlanan işleme göre soldan başlanarak 1 ⊕ 2 ⊕ 3 ⊕ ... ⊕ 10 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: E — 37
10 sayı arasında işlem 9 kez uygulanır, yani toplamdan 9 kez 2 çıkarılır. 1 + 2 + ... + 10 = 55 hesaplanır. 55 - 9·2 = 55 - 18 = 37 bulunur. İşlemin 10 kez uygulandığı sanılıp 55 - 20 = 35 (C şıkkı) bulunması tipik hatadır. Cevap 37.
13^13 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
Taban indirgenir: 13 = 7 + 6 olduğundan 13 ≡ 6 ≡ -1 (mod 7). 13^13 ≡ (-1)^13 (mod 7) yazılır. Üs tek olduğundan sonuç -1 ≡ 6 (mod 7) bulunur. Üssün çift kabul edilip (-1)^13 = 1 (A şıkkı) denmesi hatalıdır. Cevap 6.
a * b = 3a·b - 5 biçiminde tanımlanan işleme göre 2 * 5 kaçtır?
Doğru cevap: A — 25
a yerine 2, b yerine 5 yazılır: 2 * 5 = 3·2·5 - 5. 3·10 = 30 ve 30 - 5 = 25 bulunur. Sondaki 5'i çıkarmayı unutan öğrenci 30 (B şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 25.
