Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay8 orta3 zor
2^n sayısının 10 ile bölümünden kalanları n = 1, 2, 3, ... için sırasıyla yazıldığında bu kalanlar kaç adımda bir tekrar etmeye başlar?
Doğru cevap: C — 4
Kalanlar sırasıyla 2, 4, 8, 6 biçiminde ilerler ve 2^5 ≡ 2 (mod 10) olduğundan dizi baştan tekrar eder. Bu nedenle periyot 4'tür. Modülüs 10 olduğu için periyodun da 10 olacağını sanan öğrenci 10 (E şıkkı) der. Cevap 4.
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 20^2 toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 8
Toplam n·(n + 1)·(2n + 1)/6 formülüyle 20·21·41/6 = 2870 bulunur. 2870 sayısının rakamları toplamı 2 + 8 + 7 + 0 = 17 ve 17 = 9·1 + 8 olduğundan kalan 8'dir. Formülde 6'ya bölmeyi unutan öğrenci 20·21·41 = 17220 ile çalışır ve 3 (B şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 8.
11^50 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
11 ≡ 4 (mod 7) olduğundan 11^50 ≡ 4^50 (mod 7) yazılır. 4'ün kalanları 4, 2, 1 biçiminde 3 adımda tekrarlar; 50 = 3·16 + 2'dir. Kalan, dizinin ikinci terimi olan 2'dir. Üssün 7 ile bölümünden kalanını alıp 50 mod 7 = 1 diyen öğrenci 4 (D şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 2.
4^3 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 4
4^3 = 64'tür. 64 = 5·12 + 4 olduğundan kalan 4'tür. Üs alma yerine çarpma yapan öğrenci 4·3 = 12 ve 12'nin 5 ile bölümünden kalan olan 2 (C şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 4.
Gerçel sayılarda a ∆ b = (a + b)^2 - a·b biçiminde tanımlanan işlem veriliyor. Buna göre 3 ∆ 4 kaçtır?
Doğru cevap: A — 37
a yerine 3, b yerine 4 yazılır: 3 ∆ 4 = (3 + 4)^2 - 3·4. 7^2 = 49 ve 49 - 12 = 37 bulunur. Sondaki a·b çarpımını çıkarmayı unutan öğrenci 49 (C şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 37.
Bir yılın 15 Nisan günü Salı olduğuna göre aynı yılın 15 Mayıs günü haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: D — Perşembe
Nisan ayı 30 gün çektiğinden 15 Nisan ile 15 Mayıs arasında tam 30 gün vardır. 30 = 7·4 + 2 olduğundan Salı gününden 2 gün sonrası aranır. Salı + 2 = Perşembe bulunur. Nisan ayını 31 gün sanan öğrenci 31 = 7·4 + 3 hesabıyla E şıkkındaki Cuma gününü işaretler. Cevap Perşembe.
Saat 11:00 iken 100 saat sonra saat kaç olur? (24 saatlik gösterimde saatin sayısal değeri isteniyor.)
Doğru cevap: D — 15
Saatler 24'e göre devrettiğinden 11 + 100 = 111 sayısının 24 ile bölümünden kalanı bulunur. 111 = 24·4 + 15 olduğundan saat 15:00 olur. Günün 24 değil 12 saatlik olduğunu varsayıp 111'in 12 ile bölümünden kalanını alan öğrenci 3 (A şıkkı) der. Cevap 15.
A = {1, 2, 3, 4} kümesinde a ⊗ b = (a·b) sayısının 5 ile bölümünden kalanı biçiminde bir işlem tanımlanıyor. Buna göre 3 elemanının tersi kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
Birim eleman e için (a·e) sayısının 5 ile bölümünden kalanı a olmalıdır; bu koşulu e = 1 sağlar. 3 elemanının tersi t için 3 ⊗ t = 1, yani 3t ≡ 1 (mod 5) olmalıdır. t = 2 için 3·2 = 6 = 5·1 + 1 olduğundan ters eleman 2'dir. Birim elemanı ters eleman sanan öğrenci 1 (B şıkkı) der. Cevap 2.
Gerçel sayılarda a ⊗ b = a + b - 6 biçiminde tanımlanan işlemde x ⊗ x = x olduğuna göre x kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
x ⊗ x = x + x - 6 = 2x - 6 yazılır. 2x - 6 = x denkleminden x = 6 bulunur. Denklemi 2x - 6 = 0 biçiminde kuran, yani sağ taraftaki x'i sıfır sanan öğrenci 3 (B şıkkı) der. Cevap 6.
89 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 5
89'dan küçük en büyük 6 katı aranır: 6·14 = 84'tür. 89 - 84 = 5 olduğundan kalan 5'tir. 6·15 = 90 alıp 90 - 89 = 1 (A şıkkı) diyen öğrenci, kalanın bölünenden küçük katına göre hesaplanacağını gözden kaçırmıştır. Cevap 5.
Bir yılın 1 Haziran günü Cumartesi olduğuna göre aynı yılın 1 Temmuz günü haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: B — Pazartesi
Haziran ayı 30 gün çektiğinden 1 Haziran ile 1 Temmuz arasında 30 gün vardır. 30 = 7·4 + 2 olduğundan Cumartesi gününden 2 gün sonrası aranır. Cumartesi + 2 = Pazartesi bulunur. Haziran'ı 31 gün sanan öğrenci 31 = 7·4 + 3 hesabıyla C şıkkındaki Salı gününü işaretler. Cevap Pazartesi.
5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^30 toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 0
5 ≡ -1 (mod 6) olduğundan tek üslü terimler 5, çift üslü terimler 1 kalanını verir. 1'den 30'a kadar 15 tek ve 15 çift üs bulunduğundan kalanlar toplamı 15·5 + 15·1 = 90'dır. 90 = 6·15 olduğundan kalan 0'dır. Yalnızca ilk terimin kalanına bakan öğrenci 5 (E şıkkı) der. Cevap 0.
1 + 3 + 5 + ... + 99 toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 4
1'den 99'a kadar 50 tane tek sayı vardır ve ardışık tek sayıların toplamı 50^2 = 2500'dür. 2500 = 8·312 + 4 olduğundan kalan 4'tür. Terim sayısını 50 yerine 49 alan öğrenci 49^2 = 2401 ile çalışır ve 2401 = 8·300 + 1 hesabıyla 1 (B şıkkı) der. Cevap 4.
A = {0, 1, 2, 3} kümesinde ⊕ işlemi aşağıdaki tabloyla veriliyor. ⊕ | 0 1 2 3 --+------------ 0 | 0 1 2 3 1 | 1 2 3 0 2 | 2 3 0 1 3 | 3 0 1 2 Buna göre 3 elemanının tersi kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
Tablonun 0 satırı ile 0 sütunu başlıklarla aynı olduğundan birim eleman 0'dır. 3 elemanının tersi, 3 ⊕ x = 0 eşitliğini sağlayan x'tir; 3 satırında 0 değeri 1 sütununda yer alır. Dolayısıyla tersi 1'dir. Bir elemanın tersini kendisi sanan öğrenci 3 (D şıkkı) der. Cevap 1.
2^2024 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
2'nin kuvvetlerinin birler basamağı 2, 4, 8, 6 biçiminde 4 adımda tekrarlar. 2024 = 4·506 olduğundan üs 4'ün tam katıdır ve dizinin dördüncü terimi alınır. Birler basamağı 6'dır. Üs 4'ün katı olunca dizinin başına dönüp 2 (B şıkkı) diyen öğrenci hata yapar. Cevap 6.
