İşlem – Modüler Aritmetik — Test 9

Doğru cevap: A — 11

İşlem tanımında a yerine 2, b yerine −3 yazılır: 4·2 − 3·(−3) + 2·(−3) = 8 + 9 − 6 = 11. Burada kritik nokta, −3b teriminin b negatifken işaret değiştirip +9 olmasıdır. C seçeneğindeki 17, tanımın son terimi olan a·b çarpımının hiç hesaba katılmamasından (8 + 9) doğar. E seçeneğindeki 23 ise a·b yerine mutlak değerlerin çarpımı 6 alınıp toplanmasından (8 + 9 + 6) çıkar. Cevap A.

Doğru cevap: E — 4

Modüler aritmetikte kuvvetin kalanı, tabanın kalanlarının periyodundan okunur. 5'in 7'ye göre kuvvet kalanları 5, 4, 6, 2, 3, 1 biçiminde 6 adımda tekrar eder; 2026 = 6·337 + 4 olduğundan 5^2026 ≡ 5^4 ≡ 2 (mod 7). 2'nin kalanları ise 2, 4, 1 biçiminde 3 adımda tekrar eder; 2026 = 3·675 + 1 olduğundan 2^2026 ≡ 2 (mod 7). Toplam 2 + 2 = 4'tür. C seçeneğindeki 2, yalnızca bir terimin kalanı yazılıp diğerinin unutulmasından; A seçeneğindeki 0 ise iki periyodun aynı sanılıp kalanların birbirini götüreceği yanılgısından doğar. Cevap E.

Doğru cevap: C — 26

Denklem 11'e göre indirgenir: 7x ≡ 2026 ≡ 2 (mod 11). 7·8 = 56 ≡ 1 (mod 11) olduğundan 7'nin tersi 8'dir ve x ≡ 8·2 = 16 ≡ 5 (mod 11) bulunur. Yani x = 5 + 11k biçimindedir; y'nin pozitif olması için 7x ≤ 2026 − 11 = 2015, yani x ≤ 287 olmalıdır. k = 0 için x = 5, k = 25 için x = 280 ≤ 287 uygundur; k = 26 için x = 291 > 287 olur. Böylece k = 0, 1, …, 25 için 26 ikili vardır. B seçeneğindeki 25, ilk çözüm olan x = 5'in sayılmayıp k'nın 1'den başlatılmasından; D seçeneğindeki 27 ise x = 291 için 7·291 = 2037 > 2026 olacağının, yani y'nin negatif çıkacağının gözden kaçmasından doğar. Cevap C.

Doğru cevap: C — 50

10 ile bölünebilme, toplamın birler basamağının 0 olmasıdır; bu yüzden kuvvetlerin birler basamakları incelenir. 3^n'in birler basamağı 3, 9, 7, 1 biçiminde; 7^n'in birler basamağı 7, 9, 3, 1 biçiminde 4 adımda tekrar eder. Dört duruma bakılırsa n ≡ 1 iken 3 + 7 = 10, n ≡ 2 iken 9 + 9 = 18, n ≡ 3 iken 7 + 3 = 10, n ≡ 0 iken 1 + 1 = 2 olur; yani koşul yalnız n tek sayı iken sağlanır. 1 ile 100 arasında 50 tek sayı bulunur. A seçeneğindeki 25, yalnızca n ≡ 1 (mod 4) durumunun sayılmasından; E seçeneğindeki 75 ise birler basamağı 8 çıkan n ≡ 2 (mod 4) durumunun da bölünür sanılmasından doğar. Cevap C.

Doğru cevap: B — 175

Sporcu sayısı n için n ≡ 4 (mod 9) ve n ≡ 7 (mod 12) koşulları yazılır. İki koşulu birlikte sağlayan en küçük sayı 31'dir ve çözümler OKEK(9, 12) = 36 aralıklarla tekrarlanır: n ≡ 31 (mod 36). 200'den küçük değerler 31, 67, 103, 139 ve 175 olup en büyüğü 175'tir. C seçeneğindeki 193 yalnızca birinci koşulu sağlar (193 = 9·21 + 4 iken 12'ye bölümünden kalan 1'dir); D seçeneğindeki 199 ise yalnızca ikinci koşulu sağlar. A seçeneğindeki 139 gerçek bir çözümdür ama tekrar aralığı 36 yerine 9·12 = 108 alındığında bulunan en büyük değerdir. Cevap B.