Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay7 orta7 zor
a ⊕ b = a^2 - b^2 biçiminde tanımlanan işleme göre 7 ⊕ 5 kaçtır?
Doğru cevap: D — 24
a yerine 7, b yerine 5 yazılır: 7 ⊕ 5 = 7^2 - 5^2. 49 - 25 = 24 bulunur. Önce farkı alıp sonra kare alan öğrenci (7 - 5)^2 = 4 (B şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 24.
1 + 2 + 3 + ... + 100 toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 3
Toplam n·(n + 1)/2 formülüyle 100·101/2 = 5050 bulunur. 5050 = 7·721 + 3 olduğundan kalan 3'tür. Formülde 2'ye bölmeyi unutup 100·101 = 10100 ile işlem yapan öğrenci 10100 = 7·1442 + 6 hesabıyla 6 (E şıkkı) der. Cevap 3.
3^n sayısının 7 ile bölümünden kalanları n = 1, 2, 3, ... için sırasıyla yazıldığında bu kalanlar kaç adımda bir tekrar etmeye başlar?
Doğru cevap: D — 6
Kalanlar sırasıyla 3^1 ≡ 3, 3^2 ≡ 2, 3^3 ≡ 6, 3^4 ≡ 4, 3^5 ≡ 5 ve 3^6 ≡ 1 biçimindedir. 3^7 ≡ 3 olduğundan dizi baştan tekrar eder; periyot 6'dır. Modülüs 7 olduğu için periyodun da 7 olacağını sanan öğrenci 7 (E şıkkı) der. Cevap 6.
Gerçel sayılarda a ⊕ b = a + b + 5 biçiminde tanımlanan işlemin birim elemanı e, -2 elemanının tersi t olduğuna göre e + t toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — -13
Birim eleman için a + e + 5 = a olmalıdır; buradan e = -5 bulunur. -2 elemanının tersi t için -2 + t + 5 = -5 yazılır ve t = -8 elde edilir. İstenen toplam -5 + (-8) = -13'tür. Yalnızca ters elemanı yazan öğrenci -8 (C şıkkı) der. Cevap -13.
a ∇ b = 2a - 3b biçiminde tanımlanan işlemde 8 ∇ x = 4 olduğuna göre x ∇ 2 kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
Önce x bulunur: 8 ∇ x = 2·8 - 3x = 16 - 3x yazılır. 16 - 3x = 4 denkleminden 3x = 12 ve x = 4 elde edilir. İstenen ise x ∇ 2 = 2·4 - 3·2 = 8 - 6 = 2'dir. İlk adımda bulunan 4 (D şıkkı) değerini cevap sanmak, sorunun ikinci basamağını atlamak demektir. Cevap 2.
Gerçel sayılarda a * b = 2a + 2b - a·b - 2 biçiminde tanımlanan işlemin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
Doğru cevap: E — 1
Birim eleman e için her a sayısında a * e = a olmalıdır: 2a + 2e - a·e - 2 = a. Düzenlenirse a - a·e + 2e - 2 = 0, yani a·(1 - e) - 2·(1 - e) = 0 ve (1 - e)·(a - 2) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin her a için sağlanması ancak e = 1 iken mümkündür; gerçekten a * 1 = 2a + 2 - a - 2 = a'dır. Sabit terime bakıp e = 0 (D şıkkı) diyen öğrenci eşitliğin her a için sağlanması gerektiğini gözden kaçırır. Cevap 1.
3 ile bölümünden 2, 5 ile bölümünden 3, 7 ile bölümünden 2 kalanını veren en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Doğru cevap: B — 23
3 ve 7 ile bölümünden aynı 2 kalanını veren sayılar x ≡ 2 (mod 21) koşulunu sağlar: 2, 23, 44, 65, ... Bunlardan 5 ile bölümünden 3 kalanını vereni aranır: 23 = 5·4 + 3 olduğundan koşul sağlanır. Yalnızca ilk iki koşulu denetleyen öğrenci 8 (A şıkkı) der; oysa 8 sayısının 7 ile bölümünden kalan 1'dir. Cevap 23.
Bir öğrenci 6 günde bir, arkadaşı 8 günde bir kütüphaneye gitmektedir. İkisi de bugün, yani Pazartesi günü kütüphanededir. Buna göre ikisinin birlikte kütüphanede olacağı ilk gün haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: E — Perşembe
İkisinin aynı gün gitmesi için geçen gün sayısı hem 6'nın hem 8'in katı olmalıdır; bu da EKOK(6, 8) = 24 gündür. 24 = 7·3 + 3 olduğundan Pazartesi gününden 3 gün sonrası aranır. Pazartesi + 3 = Perşembe bulunur. EKOK yerine 6·8 = 48 kullanan öğrenci 48 = 7·6 + 6 hesabıyla C şıkkındaki Pazar gününü işaretler. Cevap Perşembe.
Bugün Salı olduğuna göre bugünden 3^20 gün sonra haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: B — Perşembe
3'ün 7'ye göre kalanları 3, 2, 6, 4, 5, 1 biçiminde 6 adımda tekrarlar. 20 = 6·3 + 2 olduğundan 3^20 ≡ 3^2 ≡ 2 (mod 7) bulunur; yani Salı gününden 2 gün sonrası aranır. Salı + 2 = Perşembe olur. Kalanı 3 hesaplayan öğrenci C şıkkındaki Cuma gününü işaretler. Cevap Perşembe.
a ⊕ b = a + b - 3 ve a ⊗ b = a·b biçiminde tanımlanan işlemler veriliyor. Buna göre 2 ⊗ (3 ⊕ 5) kaçtır?
Doğru cevap: A — 10
Önce parantez içi hesaplanır: 3 ⊕ 5 = 3 + 5 - 3 = 5. Sonra 2 ⊗ 5 = 2·5 = 10 bulunur. ⊕ işlemindeki -3 terimini gözden kaçırıp 3 + 5 = 8 alan öğrenci 2·8 = 16 (D şıkkı) sonucunu yazar. Cevap 10.
3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^12 toplamının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 0
3^3 = 27 ≡ 1 (mod 13) olduğundan kalanlar 3, 9, 1 biçiminde üçerli gruplar hâlinde tekrarlar. Her grubun kalanları toplamı 3 + 9 + 1 = 13 ≡ 0 (mod 13)'tür ve 12 terim tam 4 grup oluşturur. Toplam 4·13 = 52 ≡ 0 (mod 13) olur. Yalnızca ilk terimin kalanına bakan öğrenci 3 (C şıkkı) der. Cevap 0.
Bir kutudaki bilyeler 7'şerli sayıldığında 4, 9'arlı sayıldığında 5 bilye artmaktadır. Buna göre kutudaki bilye sayısı en az kaçtır?
Doğru cevap: A — 32
Bilye sayısı x için x ≡ 4 (mod 7) ve x ≡ 5 (mod 9) yazılır. İkinci koşuldan x = 9k + 5 alınır ve birincide yerine konur: 9k + 5 ≡ 4 (mod 7), yani 2k ≡ 6 (mod 7) ve k ≡ 3 (mod 7) bulunur. En küçük k = 3 için x = 9·3 + 5 = 32 olur; gerçekten 32 = 7·4 + 4'tür. Kalanları yer değiştirip x ≡ 5 (mod 7) ve x ≡ 4 (mod 9) çözen öğrenci 40 (B şıkkı) der. Cevap 32.
1! + 2! + 3! + ... + 100! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Doğru cevap: A — 3
5! = 120'den itibaren tüm faktöriyellerin birler basamağı 0'dır, çünkü çarpanlar arasında hem 2 hem 5 vardır. Bu nedenle yalnızca 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 toplamına bakmak yeterlidir. Toplamın birler basamağı 3'tür. 4! terimini hesaba katmayan öğrenci 1 + 2 + 6 = 9 (E şıkkı) der. Cevap 3.
3^(2^10) sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 4
3'ün 11'e göre kalanları 3, 9, 5, 4, 1 biçiminde 5 adımda tekrarlar. Bu nedenle üssün 5 ile bölümünden kalanına bakılır: 2^10 = 1024 ve 1024 = 5·204 + 4'tür. Kalan, dizinin dördüncü terimi olan 4'tür. Üssü periyoda değil modüle bölerek 1024 mod 11 = 1 alan öğrenci 3 (A şıkkı) der. Cevap 4.
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde a ⊙ b işlemi, (a + b + a·b) sayısının 5 ile bölümünden kalanı olacak biçimde tanımlanıyor. Buna göre A kümesinin kaç elemanının bu işleme göre tersi vardır?
Doğru cevap: D — 4
Önce birim eleman bulunur: a ⊙ e ≡ a + e + a·e ≡ a (mod 5) eşitliği her a için e·(1 + a) ≡ 0 demektir, bu da e = 0 verir. Bir a elemanının tersi t ise a + t + a·t ≡ 0 (mod 5), yani her iki yana 1 eklenerek (1 + a)(1 + t) ≡ 1 (mod 5) elde edilir. Bu denklemin çözümü olması için 1 + a sayısının 5 ile bölünmemesi gerekir; a = 4 için 1 + a = 5 ≡ 0 olduğundan çarpım hiçbir zaman 1 olamaz ve 4'ün tersi yoktur. Geriye kalan 0, 1, 2 ve 3 elemanlarının tersi vardır (sırasıyla 0, 2, 1 ve 3), yani 4 eleman. E seçeneğindeki 5, sonlu bir kümede her elemanın tersinin bulunacağı yanılgısından; C seçeneğindeki 3 ise 0 ⊙ 0 = 0 olduğu için birim elemanın da kendi tersi olduğunun gözden kaçmasından doğar. Cevap D.
