Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Fonksiyonlar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 123 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
7 kolay7 orta1 zor
s(A) = 4 ve s(B) = 3 olduğuna göre A'dan B'ye tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 36
Tüm fonksiyonların sayısı 3^4 = 81'dir. İçerme-dışarma ile örten sayısı 3^4 - C(3,1)·2^4 + C(3,2)·1^4 = 81 - 48 + 3 = 36 bulunur. Örtenlik koşulunu göz ardı edip tüm fonksiyonları sayan öğrenci 81 (E şıkkı) der. Cevap 36.
f(x) = x + 4 ve g(x) = 3x fonksiyonları veriliyor. Buna göre (fog)⁻¹(10) kaçtır?
Doğru cevap: A — 2
Önce bileşke bulunur: (fog)(x) = f(3x) = 3x + 4. (fog)⁻¹(10) için 3x + 4 = 10 denklemi çözülür: 3x = 6 ve x = 2. Aynı sonuca (fog)⁻¹ = g⁻¹of⁻¹ yolundan da ulaşılır: f⁻¹(10) = 6 ve g⁻¹(6) = 2. Bu ikinci yolda ilk adımda durup 6 (E şıkkı) demek eksik cevaptır. Cevap 2.
Her x gerçel sayısı için f(3x - 1) = 9x + 2 olduğuna göre f(5) kaçtır?
Doğru cevap: D — 20
3x - 1 = u dersek x = (u + 1)/3 olur ve f(u) = 9·(u + 1)/3 + 2 = 3u + 5 bulunur. Yani f(x) = 3x + 5'tir; f(5) = 3·5 + 5 = 20 olur. Kural yazılırken sabit terimi güncellemeyip f(x) = 3x + 2 alan öğrenci 3·5 + 2 = 17 (C şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 20.
f: R → R olmak üzere f(x) = mx + 3 fonksiyonunun bire bir ve örten olmadığı bilindiğine göre m kaçtır?
Doğru cevap: D — 0
m ≠ 0 iken f(x) = mx + 3 birinci dereceden bir fonksiyondur ve gerçel sayılarda hem bire bir hem örtendir. Dolayısıyla bu özelliğin bozulması için m = 0 olmalıdır; bu durumda f(x) = 3 sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyon tüm x değerlerini 3'e götürdüğü için bire bir değildir. Sabit terime bakıp m = -3 (A şıkkı) diyen öğrenci katsayı ile sabit terimi karıştırmıştır. Cevap 0.
f(x) = x^2 ve g(x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre (gof)(3) kaçtır?
Doğru cevap: A — 10
Bileşkede sağdaki fonksiyon önce uygulanır: f(3) = 3^2 = 9. Sonra g(9) = 9 + 1 = 10 bulunur. Sırayı ters çevirip (fog)(3) = f(4) = 16 (D şıkkı) hesaplayan öğrenci yanlış sonuca ulaşır. Cevap 10.
f(x) = 4x - 3 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(2) + f⁻¹(5) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: E — 7
f(2) = 4·2 - 3 = 5 bulunur. f⁻¹(5) için 4x - 3 = 5 denklemi çözülür ve x = 2 elde edilir. İstenen toplam 5 + 2 = 7'dir. Yalnızca f(2) değerini yazıp 5 (C şıkkı) demek soruyu yarım bırakmaktır. Cevap 7.
Her x pozitif tam sayısı için f(2x) = 2·f(x) + 1 ve f(1) = 3 olduğuna göre f(4) kaçtır?
Doğru cevap: D — 15
x = 1 için f(2) = 2·f(1) + 1 = 2·3 + 1 = 7 bulunur. x = 2 için f(4) = 2·f(2) + 1 = 2·7 + 1 = 15 bulunur. Bir adımda durup f(2) değeri olan 7 (B şıkkı) yazmak eksik cevaptır. Cevap 15.
A kümesinden B kümesine tanımlı bir f bağıntısının fonksiyon olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?
Doğru cevap: C — A kümesinin her elemanı B kümesinde tam olarak bir elemanla eşlenmelidir
Fonksiyon tanımına göre tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı ve hiçbir eleman iki farklı görüntüye sahip olmamalıdır. Bu iki koşul birlikte C şıkkındaki ifadeyi verir. A şıkkındaki koşul örten olmayı, D şıkkındaki koşul ise bire bir olmayı tanımlar; bunlar fonksiyon olmanın değil, özel fonksiyon türlerinin koşullarıdır. Cevap C şıkkıdır: A kümesinin her elemanı B kümesinde tam olarak bir elemanla eşlenmelidir.
A = {1, 2, 3} kümesinden tanımlı f(x) = 2x - 1 fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — 9
Tanım kümesindeki her eleman için görüntü hesaplanır: f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5. Görüntü kümesi {1, 3, 5} olduğundan elemanlar toplamı 1 + 3 + 5 = 9'dur. Tanım kümesinin elemanlarını toplayan öğrenci 1 + 2 + 3 = 6 (A şıkkı) der. Cevap 9.
f fonksiyonu, x tek sayı ise f(x) = x + 4, x çift sayı ise f(x) = x/2 biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre (fof)(7) kaçtır?
Doğru cevap: E — 15
7 tek sayı olduğundan f(7) = 7 + 4 = 11 bulunur. 11 de tek sayı olduğundan f(11) = 11 + 4 = 15'tir. İlk adımda durup f(7) değeri olan 11 (D şıkkı) cevabını vermek eksik işlem yapmaktır. Cevap 15.
f(x) = 2x - 1 ve g(x) = x + 3 fonksiyonları veriliyor. Buna göre her x için (fog)(x) - (gof)(x) farkı kaçtır?
Doğru cevap: D — 3
(fog)(x) = f(x + 3) = 2·(x + 3) - 1 = 2x + 5 bulunur. (gof)(x) = g(2x - 1) = (2x - 1) + 3 = 2x + 2 bulunur. Fark (2x + 5) - (2x + 2) = 3'tür. Bileşke işleminin değişme özelliği olduğunu sanan öğrenci farkı 0 (A şıkkı) kabul eder. Cevap 3.
s(A) = 3 ve s(B) = 2 olduğuna göre A'dan B'ye tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı kaçtır?
Doğru cevap: C — 6
A'dan B'ye tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı 2^3 = 8'dir. Bunlardan örten olmayanlar, görüntü kümesi tek elemanlı olan 2 sabit fonksiyondur. 8 - 2 = 6 örten fonksiyon vardır. Sabit fonksiyonları çıkarmayı unutan öğrenci 8 (D şıkkı) der. Cevap 6.
f: A → B bir fonksiyon olmak üzere aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Doğru cevap: E — Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir
Görüntü kümesi, değer kümesinin fiilen kullanılan elemanlarından oluşur; bu nedenle her zaman değer kümesinin alt kümesidir. İki kümenin eşit olması yalnızca fonksiyon örten iken gerçekleşir, bu ise her fonksiyon için geçerli değildir. Örtenliği fonksiyon olmanın bir gereği sanan öğrenci A şıkkını seçer. Ayrıca bir elemanın birden çok görüntüsü olması fonksiyon tanımına aykırıdır. Cevap Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir.
f(x) = (x - 1)/(x^2 - 9) fonksiyonunun tanımsız olduğu x değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — 0
Bir rasyonel ifade paydanın sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır. x^2 - 9 = 0 denkleminden x = 3 ve x = -3 bulunur. İstenen toplam 3 + (-3) = 0'dır. Negatif kökü gözden kaçıran öğrenci yalnızca 3 (C şıkkı) değerini yazar. Cevap 0.
f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(5) kaçtır?
Doğru cevap: C — 8
x yerine 5 yazılır: f(5) = 5^2 - 4·5 + 3. 25 - 20 + 3 = 8 bulunur. x yerine yanlışlıkla 4 yazan öğrenci f(4) = 16 - 16 + 3 = 3 (A şıkkı) sonucunu bulur. Cevap 8.
