Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 133 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 3. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay6 orta3 zor
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve m(A) = 20°'dir. D noktası [AC] üzerinde olup |BD| = |BC|'dir. Buna göre m(DBC) kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 20°
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir: m(B) = m(C) = (180 - 20)/2 = 80°. D noktası [AC] üzerinde olduğundan m(BCD) = m(BCA) = 80°'dir. |BD| = |BC| olduğundan BDC üçgeni ikizkenardır: m(BDC) = m(BCD) = 80°. BDC üçgeninde m(DBC) = 180 - 80 - 80 = 20° bulunur. Cevap 20°.
Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün 4 katıdır. Buna göre büyük olan dar açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 72
Dik üçgende iki dar açının ölçüleri toplamı 90°'dir. Açılar x ve 4x olsun: x + 4x = 90 ise 5x = 90 ve x = 18°'dir. Büyük dar açı 4 · 18 = 72° bulunur. 18 şıkkı küçük dar açının ölçüsüdür. 72 şıkkı için kontrol: 18 + 72 = 90°. Cevap B.
Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu 20 cm'dir. Buna göre hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 10
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. (Hipotenüsün orta noktası, çevrel çemberin merkezidir.) Uzunluk 20 : 2 = 10 cm bulunur. 20 şıkkı hipotenüsün kendi uzunluğudur; kenarortay bunun yarısıdır. Cevap D.
ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |BC| = 9 cm ve |AC| = 8 cm'dir. Buna göre üçgenin açılarının ölçüleri arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — m(A) > m(B) > m(C)
Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur. A köşesinin karşısındaki kenar |BC| = 9 cm, B köşesinin karşısındaki kenar |AC| = 8 cm, C köşesinin karşısındaki kenar |AB| = 7 cm'dir. 9 > 8 > 7 olduğundan m(A) > m(B) > m(C) sıralaması elde edilir. m(C) > m(B) > m(A) şıkkı, kenar uzunluklarının karşı köşeye değil de bitişik köşeye atanmasından doğar. Cevap A.
Bir üçgende bir köşedeki iç açının açıortayı ile aynı köşedeki dış açının açıortayı arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 90
Köşedeki iç açının ölçüsü x olsun; dış açının ölçüsü 180° - x'tir. İç açıortay, iç açıyı x/2'lik iki parçaya; dış açıortay, dış açıyı (180 - x)/2'lik iki parçaya ayırır. Aranan açı x/2 + (180 - x)/2 = 180/2 = 90°'dir ve x'ten bağımsızdır. 45 şıkkı, bulunan 90°'lik açının bir kez daha yarıya bölünmesinden doğar. Cevap E.
Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü 25°'dir. Buna göre diğer dar açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 65
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir; dik açı 90° olduğuna göre iki dar açının ölçüleri toplamı 90°'dir. Diğer dar açı 90° - 25° = 65° bulunur. 155 şıkkı, 180° - 25° işleminden doğar; bu değer dik açının da hesaba katılmadığı hatalı bir sonuçtur. Cevap B.
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 8 cm ve 12 cm, bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü 150°'dir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 24
Alan = (1/2) · 8 · 12 · sin 150° bağıntısı kullanılır. sin 150° = sin 30° = 1/2 olduğundan Alan = (1/2) · 96 · (1/2) = 24 cm² bulunur. 48 şıkkı, formüldeki 1/2 çarpanının unutulmasından doğar. 96 şıkkı ise iki kenarın çarpımıdır. Cevap A.
ABC üçgeninde m(A) = 65° ve m(B) = 47°'dir. Buna göre m(C) kaç derecedir?
Doğru cevap: A — 68
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°'dir. m(C) = 180° - (65° + 47°) = 180° - 112° = 68° bulunur. 112 şıkkı, verilen iki açının toplamıdır; bu değer aslında C köşesindeki dış açının ölçüsüdür. Cevap A.
ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 15 cm ve |BC| = 25 cm'dir. A köşesinden [BC] hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı H noktası olduğuna göre |BH| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 9
Öklid bağıntısına göre bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir: |AB|² = |BH| · |BC|. 15² = |BH| · 25 ise 225 = 25·|BH| ve |BH| = 9 cm bulunur. 16 şıkkı |HC| uzunluğudur (25 - 9); soruda |BH| istenmektedir. Cevap C.
ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = 2·|DC|'dir. E noktası [AB] kenarının orta noktasıdır. ABC üçgeninin alanı 60 cm² olduğuna göre BED üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 20
D noktası [BC] kenarını 2/3 ve 1/3 oranında ayırdığından ABD üçgeninin alanı 60 · 2/3 = 40 cm²'dir. E, [AB] kenarının orta noktası olduğundan [DE] doğru parçası ABD üçgenini eşit alanlı iki parçaya böler. Alan(BED) = 40 : 2 = 20 cm² bulunur. 40 şıkkı ABD üçgeninin alanıdır; E noktasıyla yapılan ikinci bölme uygulanmamıştır. Cevap A.
ABC üçgeninde m(A) = 80° ve m(B) = 60°'dir. Buna göre bu üçgenin en kısa kenarı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — [AB]
m(C) = 180° - (80° + 60°) = 40° olduğundan en küçük açı C köşesindedir. Bir üçgende en küçük açının karşısında en kısa kenar bulunur; C köşesinin karşısındaki kenar [AB]'dir. [BC] şıkkı, en büyük açı olan A'nın karşısındaki kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır. Cevap D.
Bir merdivenin alt ucu duvarın dibinden 5 metre uzağa yerleştirilmiştir. Merdivenin uzunluğu 13 metre olduğuna göre üst ucu duvarda yerden kaç metre yüksektedir?
Doğru cevap: D — 12
Duvar zeminle dik açı yaptığından merdiven, dik kenarları 5 m ve h, hipotenüsü 13 m olan bir dik üçgen oluşturur. h² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 ise h = 12 m bulunur. 18 şıkkı, 13 ile 5'in toplanmasından doğar; Pisagor bağıntısında kareler farkı alınmalıdır. Cevap D.
Bir eşkenar üçgenin alanı 36√3 cm²'dir. Buna göre bu üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 12
Bir kenarı a olan eşkenar üçgenin alanı a²√3/4'tür. a²√3/4 = 36√3 ise a² = 144 ve a = 12 cm bulunur. 6 şıkkı, formüldeki 4'e bölme işleminin unutulup a² = 36 alınmasından doğar. Cevap D.
Bir kenarının uzunluğu 6 cm olan ABC eşkenar üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = 2 cm'dir. Buna göre |AD| kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 2√7
A köşesinden [BC] kenarına indirilen yükseklikle çalışmak yerine kosinüs bağıntısı kullanılabilir; eşkenar üçgende m(B) = 60°'dir. |AD|² = |AB|² + |BD|² - 2·|AB|·|BD|·cos 60° = 36 + 4 - 2 · 6 · 2 · (1/2) = 40 - 12 = 28. |AD| = √28 = 2√7 cm bulunur. 2√13 şıkkı, bağıntıdaki çıkarma işleminin toplama olarak uygulanmasından (36 + 4 + 12 = 52) doğar. Cevap D.
ABC üçgeninde iç açıların ölçüleri m(A) = (3x - 10)°, m(B) = (2x + 20)° ve m(C) = (x + 50)°'dir. Buna göre en büyük açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 70
İç açılar toplamı 180° olduğundan (3x - 10) + (2x + 20) + (x + 50) = 180 yazılır. 6x + 60 = 180 ise 6x = 120 ve x = 20 bulunur. Açılar m(A) = 50°, m(B) = 60° ve m(C) = 70°'dir; en büyüğü 70°'dir. 20 şıkkı, bulunan x değerinin doğrudan cevap sanılmasından doğar. Cevap E.
