Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 133 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay10 orta1 zor
Benzer iki üçgende birbirine karşılık gelen iki kenarın uzunlukları 6 cm ve 15 cm'dir. Küçük üçgenin çevresi 20 cm olduğuna göre büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 50
Benzer üçgenlerde çevrelerin oranı, benzerlik oranına eşittir: 6/15 = 2/5. Büyük üçgenin çevresi Ç ise 20/Ç = 2/5 olur. Buradan Ç = 50 cm bulunur. 8 şıkkı, oranın ters kurulmasından (20 · 6 : 15) doğar; büyük üçgenin çevresi küçüğünkinden büyük olmalıdır. Cevap D.
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve m(A) = 40°'dir. B köşesinden [AC] kenarına indirilen yüksekliğin ayağı D noktası olduğuna göre m(ABD) kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 50
[BD] ⊥ [AC] olduğundan ABD üçgeninde m(ADB) = 90°'dir. ABD üçgeninde m(A) = 40° olduğundan m(ABD) = 180° - (90° + 40°) = 50° bulunur. 70 şıkkı, ikizkenar üçgenin taban açısı m(ABC)'nin ölçüsüdür [(180 - 40) : 2]; soruda yüksekliğin ayırdığı parça istenmektedir. Cevap B.
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 5 cm ve m(A) = 120°'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 7
Kosinüs bağıntısı kullanılır: |BC|² = |AB|² + |AC|² - 2·|AB|·|AC|·cos A. cos 120° = -1/2 olduğundan |BC|² = 9 + 25 - 2 · 3 · 5 · (-1/2) = 34 + 15 = 49'dur. |BC| = 7 cm bulunur. √34 şıkkı, kosinüslü terimin ihmal edilip yalnızca 9 + 25 toplamının alınmasından doğar; bu ancak açı 90° olsaydı geçerli olurdu. Geniş açının karşısındaki kenar iki kenardan da uzun olmalıdır; 7 > 5 koşulu sağlanmaktadır. Cevap B.
Çevresi 40 cm olan bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı 3 cm'dir. Buna göre bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 60
Bir üçgenin alanı, iç teğet çember yarıçapı ile çevrenin yarısının çarpımına eşittir: Alan = r · u. u = 40 : 2 = 20 cm olduğundan Alan = 3 · 20 = 60 cm² bulunur. D şıkkı (120), çevrenin yarısı yerine çevrenin tamamının kullanılmasından (3 · 40) doğar. Cevap A.
ABC üçgeninde m(B) = 70° ve m(C) = 50°'dir. A köşesinden çizilen iç açıortay ile [BC] kenarına ait yükseklik arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 10
m(A) = 180° - (70° + 50°) = 60° olduğundan açıortay A açısını 30°'lik iki parçaya ayırır. B köşesindeki açı 70° olduğundan yüksekliğin ayağının bulunduğu dik üçgende, yükseklik ile [AB] arasındaki açı 90° - 70° = 20°'dir. Açıortay ile [AB] arasındaki açı 30° olduğundan aradaki fark 30° - 20° = 10° bulunur. (Genel kural: açı = |m(B) - m(C)| : 2.) 20 şıkkı, iki açının farkının (70 - 50) ikiye bölünmemesinden doğar. Cevap B.
ABC üçgeninde |AB| = 10 cm ve |AC| = 6 cm'dir. A açısının iç açıortayı [BC] kenarını D noktasında kesmektedir. |DC| = 3 cm olduğuna göre |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 8
İç açıortay teoremine göre |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 10/6 = 5/3'tür. |BD| / 3 = 5/3 ise |BD| = 5 cm bulunur. |BC| = |BD| + |DC| = 5 + 3 = 8 cm'dir. 5 şıkkı, yalnızca |BD| uzunluğudur; soruda kenarın tamamı istenmektedir. Cevap E.
Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 5
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² olduğundan üçgen diktir ve hipotenüsü 10 cm'dir. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır; yarıçap hipotenüsün yarısıdır. R = 10 : 2 = 5 cm bulunur. 10 şıkkı, hipotenüsün doğrudan yarıçap sanılmasından doğar. 2 şıkkı ise aynı üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapıdır (Alan : u = 24 : 12). Cevap C.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı, E noktası [AC] kenarı üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. ADE üçgeninin alanı DBCE dörtgeninin alanına eşit olduğuna göre |AD| / |AB| oranı kaçtır?
Doğru cevap: B — √2/2
[DE] // [BC] olduğundan ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. İki alan eşit olduğundan ADE üçgeninin alanı, ABC üçgeninin alanının yarısıdır. Alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir: (|AD|/|AB|)² = 1/2. Buradan |AD|/|AB| = 1/√2 = √2/2 bulunur. 1/2 şıkkı, alan oranı 1/2 iken kenar oranının da 1/2 olacağının sanılmasından doğar; karekök alınmalıdır. Cevap B.
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 4 cm ve 9 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre bu üçgenin çevresi en az kaç cm olabilir?
Doğru cevap: B — 19
Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar x için 9 - 4 < x < 9 + 4, yani 5 < x < 13 olmalıdır. x bir tam sayı olduğundan en küçük değeri 6 cm'dir. Çevre en az 4 + 9 + 6 = 19 cm bulunur. 18 şıkkı, x'in 5 alınmasından doğar; 5 değeri eşitsizliğin sınırıdır ve bu durumda üçgen oluşmaz. Cevap B.
Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü 30° ve hipotenüsün uzunluğu 16 cm'dir. Buna göre 30°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 8
30-60-90 üçgeninde 30°'lik açının karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına eşittir. Uzunluk 16 : 2 = 8 cm bulunur. 8√3 şıkkı, 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğudur. Cevap C.
ABC üçgeninin üç kenarortayı ağırlık merkezinde kesişerek üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene ayırmaktadır. ABC üçgeninin alanı 48 cm² olduğuna göre bu küçük üçgenlerden birinin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 8
Üç kenarortay üçgeni alanları birbirine eşit altı üçgene böler. Her birinin alanı 48 : 6 = 8 cm² bulunur. 16 şıkkı, üçgenin yalnızca üçe bölündüğünün sanılmasından (48 : 3) doğar; bu değer ağırlık merkezi ile bir kenarın oluşturduğu üçgenin alanıdır. Cevap A.
ABC üçgeninde |AB| = 8 cm ve |AC| = 6 cm'dir. A köşesinden [BC] kenarına çizilen kenarortayın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre bu uzunluk kaç farklı değer alabilir?
Doğru cevap: B — 5
Kenarortay uzunluğu V için |AB - AC| / 2 < V < (AB + AC) / 2 eşitsizliği geçerlidir. (8 - 6)/2 < V < (8 + 6)/2, yani 1 < V < 7 olur. V tam sayı olduğundan 2, 3, 4, 5 ve 6 değerlerini alabilir; bu da 5 farklı değerdir. 7 şıkkı, uç değerler olan 1 ile 7'nin de sayılmasından doğar; eşitsizlik kesin olduğu için bu değerler alınamaz. Cevap B.
ABC üçgeninde m(B) = 55°'dir. Buna göre A ve C köşelerindeki dış açıların ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Doğru cevap: A — 235
A köşesindeki dış açı 180° - m(A), C köşesindeki dış açı 180° - m(C)'dir. Toplam 360° - [m(A) + m(C)] biçimindedir. İç açılar toplamı 180° olduğundan m(A) + m(C) = 180° - 55° = 125°'dir. Toplam 360° - 125° = 235° bulunur. 305 şıkkı, 360° - 55° işleminden doğar; çıkarılması gereken, verilen açı değil diğer iki iç açının toplamıdır. Cevap A.
ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 10 cm ve m(A) = 30°'dir. Buna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 20
İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende alan, (1/2) · |AB| · |AC| · sin A bağıntısıyla bulunur. sin 30° = 1/2 olduğundan Alan = (1/2) · 8 · 10 · (1/2) = 20 cm² bulunur. 40 şıkkı, formüldeki 1/2 çarpanının unutulmasından doğar (8 · 10 · 1/2 = 40). Cevap A.
Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C — 30
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² olduğundan bu üçgen, dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgendir. Alan = (5 · 12) : 2 = 30 cm² bulunur. 60 şıkkı, dik kenarların çarpımının 2'ye bölünmemesinden doğar. 78 şıkkı ise 12 ile 13'ün dik kenar sanılmasından doğar; 13 cm hipotenüstür. Cevap C.
