Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çember, Daire, Analitik Geometri ve Katı Cisim konusundan 12 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 132 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 9. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay7 orta2 zor
Yarıçapı 12 cm olan bir dairede merkez açısının ölçüsü 60° olan daire diliminin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 24π
Yarıçapı 12 cm olan dairenin alanı π·12² = 144π cm²'dir. Merkez açısı 60° olan dilim, tam dairenin 60/360 = 1/6'sıdır. Dilimin alanı 144π : 6 = 24π cm² bulunur. Bölme yapılmayıp dairenin tamamının alanı olan 144π'nin işaretlenmesi, dilim kavramının atlanmasıdır. Cevap 24π.
Bir dikdörtgenler prizmasının bir yüzünün alanı 15 cm² ve bu yüze dik olan ayrıtının uzunluğu 4 cm'dir. Buna göre bu prizmanın hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: B — 60 cm³
Prizmanın hacmi, taban alanı ile bu tabana dik olan yüksekliğin çarpımına eşittir. Alanı 15 cm² olan yüz taban kabul edilirse yükseklik 4 cm olur: V = 15·4 yazılır. V = 60 cm³ bulunur. Prizmanın karşılıklı iki yüzü bulunduğunu düşünüp taban alanını iki katına çıkarmak ve 30·4 = 120 cm³ (E şıkkı) demek yanlıştır; hacimde taban bir kez kullanılır. Cevap B.
Bir çemberde [AB] çaptır ve C noktası çember üzerindedir. m(ABC) = 34°'dir. Buna göre m(BAC) kaç derecedir?
Doğru cevap: C — 56
Çapı gören çevre açının ölçüsü 90°'dir; bu nedenle m(ACB) = 90°'dir. ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180°'dir: m(BAC) + 34 + 90 = 180. Buradan m(BAC) = 56° bulunur. Çapı gören açının 90° olduğu kullanılmayıp m(BAC) = m(ABC) = 34 sanılırsa üçgen ikizkenar varsayılmış olur ki bu bilgi verilmemiştir. Cevap 56.
Bir küpün cisim köşegeninin uzunluğu 10√3 cm'dir. Buna göre bu küpün hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: E — 1000 cm³
Küpün cisim köşegeni a·√3 formülüyle verilir: a·√3 = 10√3 yazılır. a = 10 cm bulunur. Hacim a³ = 10³ = 1000 cm³ olur. Ayrıtı 10 cm bulduktan sonra hacim yerine bir yüzün alanı olan 100 cm² değerini yazmak 100 (A şıkkı) hatasına yol açar. Cevap E.
Bir çemberde merkez açısının ölçüsü 100° olan yayın uzunluğu 10π cm'dir. Buna göre bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 18
Yarıçapı r olan çemberin uzunluğu 2πr olup merkez açısı α olan yayın uzunluğu 2πr · α / 360'tır. α = 100° için yay uzunluğu 2πr · 100 / 360 = 5πr / 9 biçiminde yazılır. 5πr / 9 = 10π denkleminden 5r = 90 ve r = 18 cm bulunur. Merkez açı 90° sanılıp 2πr : 4 = 10π kurulursa r = 20 gibi yanlış bir değer elde edilir. Cevap 18.
Taban yarıçapı 6 cm, yüksekliği 10 cm olan bir dik dairesel silindirin yanal alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 120π
Dik dairesel silindirin yanal yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. Bu dikdörtgenin bir kenarı taban çemberinin uzunluğu 2πr = 12π, diğer kenarı ise yükseklik olan 10 cm'dir. Yanal alan 12π · 10 = 120π cm² bulunur. İki taban alanının toplamı olan 2·36π = 72π'nin işaretlenmesi, yanal alan ile taban alanlarının karıştırılmasıdır. Cevap 120π.
Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm olan küpün tüm yüzey alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B — 96
Küpün altı yüzü de eşit kenarlı karedir ve bir yüzün alanı 4² = 16 cm²'dir. Tüm yüzey alanı 6 · 16 hesabıyla bulunur. Sonuç 96 cm²'dir. Hacim formülü uygulanıp 4³ = 64 denmesi, alan ile hacmin karıştırılmasıdır. Cevap 96.
Analitik düzlemde A(2, 1) noktasından geçen ve eğimi -3 olan bir doğru veriliyor. Buna göre bu doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Doğru cevap: D — 7
Eğimi m olan ve (x₀, y₀) noktasından geçen doğrunun denklemi y - y₀ = m(x - x₀) biçimindedir. y - 1 = -3(x - 2) yazılırsa y = -3x + 6 + 1 = -3x + 7 elde edilir. Doğru y eksenini x = 0 için keser; y = 7 bulunur. A noktasının ordinatı olan 1'in işaretlenmesi, kesim noktasının hesaplanmamasıdır. Cevap 7.
Yarıçapları 9 cm ve 4 cm olan iki çember birbirine dıştan teğettir. Bu iki çemberin ortak dış teğetlerinden biri çemberlere A ve B noktalarında değmektedir. Buna göre |AB| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 12
İki çember dıştan teğet ise merkezleri arasındaki uzaklık yarıçaplarının toplamına eşittir: |O₁O₂| = 9 + 4 = 13 cm. Teğet, değme noktalarındaki yarıçaplara diktir; küçük çemberin merkezinden büyük yarıçapa paralel çizilen doğru parçasıyla, bir dik kenarı |AB|, diğer dik kenarı yarıçapların farkı olan 9 - 4 = 5 cm ve hipotenüsü 13 cm olan bir dik üçgen elde edilir. Pisagor teoremine göre |AB| = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm'dir. B seçeneğindeki 9, dik kenar olarak yarıçapların farkı yerine büyük yarıçapın alınmasıyla çıkan √(169 - 81) = √88 ≈ 9,4 değerine karşılık gelir. C seçeneğindeki 10 doğru olsaydı 10² + 5² = 125 olurdu; oysa hipotenüsün karesi 13² = 169 olmalıdır. Cevap E.
Analitik düzlemde A(-2, 5) ve B(6, -1) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasının orta noktası M olduğuna göre |AM| kaç birimdir?
Doğru cevap: C — 5
Orta nokta formülüne göre M, uç noktaların koordinatlarının ortalamasıdır: M((-2 + 6)/2, (5 + (-1))/2) = M(2, 2). İki nokta arası uzaklık formülü |AM| = √((2 - (-2))² + (2 - 5)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 birim verir. E seçeneğindeki 10, orta nokta hiç kullanılmadan doğrudan |AB| = √(8² + 6²) = 10 hesaplanmasından doğar; istenen bunun yarısıdır. D seçeneğindeki 8 yalnızca apsisler farkıdır, B seçeneğindeki 4 ise bu farkın yarısıdır; uzaklık bulunurken iki koordinat farkı birlikte, Pisagor bağıntısıyla kullanılmalıdır. A seçeneğindeki 3 de aynı biçimde ordinatlar farkının yarısıdır. Cevap C.
Ayrıt uzunlukları 3 cm, 8 cm ve 9 cm olan bir dikdörtgenler prizması eritilerek hiç malzeme kaybı olmadan küp biçiminde yeniden dökülüyor. Buna göre elde edilen küpün tüm yüzey alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D — 216
Eritip yeniden dökme işleminde korunan büyüklük hacimdir. Dikdörtgenler prizmasının hacmi V = a·b·c = 3·8·9 = 216 cm³'tür. Küpün hacmi ayrıtının küpü olduğundan a³ = 216 → a = 6 cm bulunur. Küpün tüm yüzey alanı 6a² formülüyle 6·6² = 216 cm²'dir. E seçeneğindeki 222, eritilen prizmanın kendi yüzey alanıdır: 2·(3·8 + 8·9 + 9·3) = 222 cm²; oysa erime sonrası korunan yüzey alanı değil hacimdir. A seçeneğindeki 144 ise 4·36 işleminden gelir, yani küpün altı yüzü yerine dört yüzü hesaba katılmıştır. Cevap D.
Analitik düzlemde eğimi -2 olan bir d doğrusu, x eksenini A noktasında, y eksenini B noktasında kesmektedir. A ve B noktalarının sıfırdan farklı koordinatları pozitiftir ve O orijin olmak üzere AOB üçgeninin alanı 16 birimkaredir. Buna göre B noktasının ordinatı kaçtır?
Doğru cevap: B — 8
Eğimi -2 olan doğrunun denklemi y = -2x + b biçimindedir; buradaki b sabiti doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır, yani B(0, b)'dir. Doğru x eksenini y = 0 için keser: 0 = -2x + b → x = b/2, yani A(b/2, 0)'dır. Dik kenarları |OA| = b/2 ve |OB| = b olan dik üçgenin alanı (1/2)·(b/2)·b = b²/4'tür. b²/4 = 16 eşitliğinden b² = 64 ve b = 8 bulunur; koordinatlar pozitif istendiğinden b = -8 kökü elenir. E seçeneğindeki 16, üçgenin alan değerinin doğrudan ordinat sanılmasıyla işaretlenir. D seçeneğindeki 12 doğru olsaydı A(6, 0) olur ve alan (1/2)·6·12 = 36 birimkare çıkardı; bu, verilen 16 birimkare değerine uymaz. Cevap B.
