Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çember, Daire, Analitik Geometri ve Katı Cisim konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 132 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay6 orta5 zor
Bir çemberde [AB] çaptır ve C noktası çember üzerinde, A ve B'den farklı bir noktadır. Buna göre m(ACB) kaç derecedir?
Doğru cevap: D — 90
Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır. [AB] çap olduğundan C'nin bulunmadığı AB yayının ölçüsü 180°'dir. m(ACB) = 180°/2 = 90° bulunur; yani çapı gören çevre açı diktir. Yayın ölçüsünü doğrudan açının ölçüsü sanıp 180 (E şıkkı) demek, yarım açı bağıntısını atlamaktır. Cevap D.
Bir ayrıtının uzunluğu 6 cm olan küpün içine, tabanı küpün taban karesine içten teğet olan ve yüksekliği küpün ayrıtına eşit bir dik dairesel silindir yerleştirilmiştir. Buna göre bu silindirin hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: B — 54π
Silindirin tabanı, kenar uzunluğu 6 cm olan bir kareye içten teğet olduğundan taban çemberinin çapı 6 cm, yarıçapı ise 3 cm'dir. Silindirin yüksekliği küpün ayrıtına eşit olup 6 cm'dir. Hacim π·3²·6 = 54π cm³ bulunur. Yarıçap yerine ayrıt uzunluğu olan 6 kullanılırsa π·36·6 = 216π gibi çok büyük bir değer elde edilir. Cevap 54π.
Analitik düzlemde A(3, 4) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — y = 4
x eksenine paralel doğruların üzerindeki bütün noktaların ordinatları eşittir; bu doğruların denklemi y = sabit biçimindedir. Doğru A(3, 4) noktasından geçtiğinden sabit değer, A'nın ordinatı olan 4'tür. Denklem y = 4 olarak bulunur (eğimi sıfırdır). Apsisi sabit alıp x = 3 (C şıkkı) yazmak, y eksenine paralel doğrunun denklemini vermektir. Cevap A.
Taban yarıçapı 4 cm olan bir dik dairesel silindirin hacmi 128π cm³'tür. Buna göre bu silindirin yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 8
Dik dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: π·r²·h. r = 4 cm için taban alanı 16π cm² olduğundan 16π·h = 128π denklemi kurulur. Her iki taraf 16π'ye bölünürse h = 8 cm bulunur. Yarıçap yerine çap olan 8 kullanılıp 64π·h = 128π kurulursa h = 2 gibi yanlış bir değer elde edilir. Cevap 8.
Analitik düzlemde A(-5, 3) noktasının x eksenine olan uzaklığı kaç birimdir?
Doğru cevap: C — 3
Bir noktanın x eksenine uzaklığı, ordinatının mutlak değerine eşittir. A noktasının ordinatı 3 olduğundan uzaklık |3| yazılır. Uzaklık 3 birim bulunur. Apsisin mutlak değerini alıp 5 birim (D şıkkı) demek, x eksenine uzaklık ile y eksenine uzaklığı karıştırmaktır. Cevap C.
Yarıçapı 9 cm olan bir dairenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 81π
Dairenin alanı π·r² formülüyle hesaplanır. r = 9 cm olduğundan r² = 81'dir. Alan 81π cm² bulunur. Çember uzunluğu formülü olan 2πr kullanılırsa 18π elde edilir; bu bir uzunluktur, alan değildir. Cevap 81π.
Bir çemberin dışındaki P noktasından çizilen bir kesen, çemberi önce A sonra B noktasında kesmektedir; |PA| = 4 cm ve |AB| = 12 cm'dir. Aynı P noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T'dir. Buna göre |PT| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 8
Teğet-kesen bağıntısına göre |PT|² = |PA|·|PB|'dir. P, A ve B aynı doğru üzerinde ve A ile B arasındaki uzaklık 12 cm olduğundan |PB| = |PA| + |AB| = 4 + 12 = 16 cm'dir. |PT|² = 4·16 = 64 olduğundan |PT| = 8 cm bulunur. Bağıntıda |PB| yerine |AB| kullanılıp |PT|² = 4·12 = 48 alınırsa 4√3 gibi yanlış bir sonuç elde edilir. Cevap 8.
Bir çemberin dış bölgesindeki P noktasından çembere çizilen teğetin uzunluğu 8 cm'dir. Aynı noktadan çizilen bir kesen çemberi önce A sonra B noktasında kesmekte olup |PA| = 4 cm'dir. Buna göre |AB| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 12
Teğet–kesen bağıntısına göre teğetin karesi, kesenin dıştaki parçası ile tamamının çarpımına eşittir: |PT|² = |PA|·|PB|. 8² = 4·|PB| → 64 = 4·|PB| → |PB| = 16 cm bulunur. |AB| = |PB| - |PA| = 16 - 4 = 12 cm olur. |PB| değerini doğrudan |AB| sanıp 16 (D şıkkı) demek, dıştaki parçayı çıkarmayı unutmaktır. Cevap C.
Yarıçapı 10 cm olan bir çemberde uzunluğu 16 cm olan bir kirişin çemberin merkezine olan uzaklığı kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 6
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar; parçalardan her biri 16/2 = 8 cm olur. Yarıçap, bu dikme ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur: d² + 8² = 10². d² = 100 - 64 = 36 → d = 6 cm bulunur. Kirişin yarısı olan 8 cm (C şıkkı) değerini merkeze uzaklık sanmak sık yapılan bir hatadır. Cevap A.
O merkezli bir çemberde A ve B noktaları çember üzerindedir ve m(AOB) = 110°'dir. Buna göre OAB üçgeninde m(OAB) kaç derecedir?
Doğru cevap: A — 35
|OA| = |OB| = r olduğundan OAB üçgeni ikizkenardır ve taban açıları eşittir. Tepe açısı m(AOB) = 110° olduğundan taban açılarının toplamı 180° - 110° = 70°'dir. m(OAB) = 70/2 = 35° bulunur. Merkez açının yarısını doğrudan taban açısı sanıp 110/2 = 55° (D şıkkı) demek yaygın bir hatadır; 55° buradaki çevre açının ölçüsüdür. Cevap A.
Hacmi 200π cm³ olan bir dik dairesel silindirin yüksekliği 8 cm'dir. Buna göre taban yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 5
Silindirin hacmi π·r²·h = 200π biçiminde yazılır. π·r²·8 = 200π → r² = 25 elde edilir. r = 5 cm bulunur. r² değerini yarıçap sanıp 25 (E şıkkı) demek, karekök almayı unutmaktır. Cevap D.
Taban ayrıtının uzunluğu 5 cm, yüksekliği 8 cm olan bir kare dik prizmanın tüm yüzey alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D — 210 cm²
Prizmanın iki tabanı kenarı 5 cm olan karedir: 2·25 = 50 cm². Yanal yüzey, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır: (4·5)·8 = 160 cm². Tüm yüzey alanı 50 + 160 = 210 cm² bulunur. Tabanları eklemeyi unutup yalnızca yanal alanı yazmak 160 cm² (A şıkkı) hatasını verir. Cevap D.
Bir ayrıtının uzunluğu 12 cm olan küpün altı yüzüne de teğet olacak biçimde içine bir küre yerleştirilmiştir. Buna göre bu kürenin yüzey alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B — 144π cm²
Küre küpün altı yüzüne de teğet olduğundan kürenin çapı küpün ayrıtına eşittir: 2r = 12 → r = 6 cm. Kürenin yüzey alanı 4·π·r² formülüyle hesaplanır. Alan = 4·π·36 = 144π cm² bulunur. Kürenin yarıçapını küpün ayrıtı olan 12 cm sanıp 4·π·144 = 576π cm² (D şıkkı) demek, çap ile yarıçapı karıştırmaktır. Cevap B.
Analitik düzlemde A(1, 3) ve B(7, 11) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasının orta dikmesi y eksenini hangi noktanın ordinatında keser?
Doğru cevap: D — 10
[AB]'nin orta noktası ((1 + 7) : 2, (3 + 11) : 2) = (4, 7)'dir ve [AB]'nin eğimi (11 - 3) / (7 - 1) = 4/3'tür. Orta dikme, [AB]'ye dik olduğundan eğimi -3/4'tür ve (4, 7) noktasından geçer: y - 7 = -3/4·(x - 4). Düzenlenirse y = -3x/4 + 10 elde edilir; x = 0 için y = 10 bulunur. Orta noktanın ordinatı olan 7'nin işaretlenmesi, doğrunun eksene kadar uzatılmamasıdır. Cevap 10.
Bir küpün tüm yüzey alanı 150 cm²'dir. Buna göre bu küpün hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: C — 125
Ayrıt uzunluğu a olan küpün tüm yüzey alanı 6a²'dir: 6a² = 150 denkleminden a² = 25 ve a = 5 cm bulunur. Küpün hacmi a³ formülüyle hesaplanır. Hacim 5³ = 125 cm³'tür. Bir yüzün alanı olan 25'in işaretlenmesi, a² değerinde durulup hacme geçilmemesidir. Cevap 125.
