Bölme – Bölünebilme — Test 5

Doğru cevap: E — 9

11 kuralında basamaklar sondan başlayarak dönüşümlü olarak toplanır ve çıkarılır: (1 + 2 + 4) - (B + A) = 7 - (A + B) ifadesi 11'in katı olmalıdır. A = B olduğundan 7 - 2A değeri 0 ya da -11 olabilir; 7 - 2A = 0 denklemi rakam vermez, 7 - 2A = -11 denkleminden A = 9 bulunur. Gerçekten 49291 = 11 · 4481'dir. Farkın yalnızca 0 olabileceğini sanan öğrenci uygun rakam bulamayıp 7 - 2A ifadesini kabaca deneyerek A gibi bir şıkka yönelir. Cevap E.

Doğru cevap: D — 12

15 · 24 = 360 olduğundan 372 = 15 · 24 + 12 yazılır ve 12 < 15 olduğu için kalan 12'dir. 15 = 3 · 5 olduğundan yalnızca 5 ile bölümden kalana bakan öğrenci 372 = 5 · 74 + 2 işleminden A şıkkını işaretler; oysa bileşik bir bölene göre kalan, çarpanların kalanlarından doğrudan okunamaz. Cevap D.

Doğru cevap: C — 57

Koşulu sağlayan en küçük sayı 305 = 7 · 43 + 4, en büyük sayı ise 697 = 7 · 99 + 4'tür. Bu sayılar 7'şer artarak ilerlediğinden adet (697 - 305) / 7 + 1 = 56 + 1 = 57'dir. Son terimi de saymayı unutan, yani yalnızca (697 - 305) / 7 işlemini yapan öğrenci B şıkkını işaretler. Cevap C.

Doğru cevap: A — 600

1000'e kadar 3'ün katları 333, 4'ün katları 250, 5'in katları 200 tanedir. İkişerli kesişimler 12'nin katları 83, 15'in katları 66, 20'nin katları 50; üçlü kesişim ise 60'ın katları 16 tanedir. İçerme-dışarma ilkesiyle 333 + 250 + 200 - 83 - 66 - 50 + 16 = 600 bulunur. Ortak katları çıkarmayı unutup 333 + 250 + 200 = 783 diyen öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: B — 33

400 = 6 · 66 + 4 olduğundan 6'nın katı olan 66 sayı vardır. Bunlardan hem 6 hem 4 ile bölünenler 12'nin katlarıdır ve 400 = 12 · 33 + 4 olduğundan 33 tanedir. İstenen sayı 66 - 33 = 33'tür. İkinci koşulu göz ardı edip yalnızca 6'nın katlarını sayan öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: D — 4

Çarpımdaki 3'ün katları 3, 6 ve 9'dur. 3 sayısı bir tane, 6 = 2 · 3 sayısı bir tane, 9 = 3^2 sayısı ise iki tane 3 çarpanı verir. Toplam 1 + 1 + 2 = 4 olduğundan 10! sayısı 3^4 ile bölünür, 3^5 ile bölünmez. Yalnızca 3'ün katlarının adedini sayan öğrenci 9'un iki çarpan verdiğini gözden kaçırır ve C şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: B — 5

Ardışık beş tam sayı n - 2, n - 1, n, n + 1, n + 2 biçiminde yazılırsa toplamları 5n olur; bu nedenle toplam her zaman 5'in katıdır. Toplamın çift olacağını varsayan öğrenci E şıkkını işaretler; oysa n tek iken 5n tektir ve 10 ile bölünmez. Cevap B.

Doğru cevap: C — 10

Bölenler genelde ikişerli eşlenir; yalnızca tam kare sayılarda karekök kendisiyle eşleştiği için bölen sayısı tek olur. 1'den 100'e kadar tam kareler 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100 olmak üzere 10 tanedir. Üst sınır olan 100'ü tam kare saymayıp dışarıda bırakan öğrenci B şıkkını işaretler. Cevap C.

Doğru cevap: C — 32

Kalanlar eşit ve r ise sayı hem 4k + r hem 6m + r biçimindedir; buradan sayının r fazlası olan kısmı hem 4'e hem 6'ya bölünür, yani sayı 12t + r biçimindedir ve 4'e göre kalan alınabilmesi için r < 4 olmalıdır. Böylece uygun sayılar 12t, 12t + 1, 12t + 2, 12t + 3 biçimindedir. İki basamaklı aralıkta t = 1, 2, ..., 8 için dörder sayı bulunur: 8 · 4 = 32. r için yalnızca 0 ve 1 değerlerini uygun gören öğrenci her t için iki sayı sayar ve 8 · 2 = 16 sonucuyla A şıkkını işaretler. Cevap C.

Doğru cevap: D — 3

Çarpımın kalanı, kalanların çarpımının kalanına eşittir: 4 · 6 = 24 ve 24 = 9 · 2 + 6 olduğundan A · B için kalan 6'dır. Buradan A · B - 3 için kalan 6 - 3 = 3 bulunur. Son çıkarma işlemini unutup çarpımın kalanında kalan öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: B — 6

Sayı çift olduğundan 2 ile, verilen koşul gereği 3 ile tam bölünür. 2 ile 3 aralarında asal olduğundan sayı, çarpımları olan 6 ile de kesinlikle bölünür. Çift olmayı 4 ile bölünmekle karıştıran öğrenci A şıkkını, 3 ile bölünmeyi 9 ile bölünmekle karıştıran öğrenci D şıkkını işaretler; örneğin 6 sayısı ne 4 ne de 9 ile tam bölünür. Cevap B.

Doğru cevap: E — 11

45 = 9 · 5 olduğundan sayı hem 9 hem 5 ile bölünmelidir. 5 kuralı gereği B = 0 ya da B = 5'tir. 9 kuralı için rakamlar toplamı 5 + A + 2 + B = 7 + A + B sayısı 9'un katı olmalıdır. B = 0 için A = 2 (toplam 9), B = 5 için A = 6 (toplam 18) bulunur. Böylece A + B en çok 6 + 5 = 11 olur. B'yi yalnızca 0 alan öğrenci 2 + 0 = 2 bulup A şıkkını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: D — 45

Bölüm b ise bölen 4b'dir ve bölünen 4b · b + 9 = 4b^2 + 9 olur. Kalan bölenden küçük olmalıdır: 9 < 4b eşitsizliğinden b > 2,25 yani en küçük b değeri 3'tür. b = 3 için bölen 12, bölünen 4 · 9 + 9 = 45 bulunur. Kalan < bölen koşulunu gözden kaçırıp b = 2 alan öğrenci 8 · 2 + 9 = 25 bulur ve B şıkkını, b = 1 alan öğrenci ise 4 + 9 = 13 bulup A şıkkını işaretler. Cevap D.

Doğru cevap: D — 5

Üç basamaklı en büyük doğal sayı 999'dur. 7 · 142 = 994 olduğundan 999 = 7 · 142 + 5 yazılır ve kalan 5'tir. 7 · 143 = 1001 sayısını kullanıp 1001 - 999 = 2 farkını kalan sanan öğrenci B şıkkını işaretler; oysa bu fark, sayının bir sonraki 7 katına olan uzaklığıdır. Cevap D.

Doğru cevap: A — 13

Basamak çözümlemesiyle abcabc = abc · 1000 + abc = abc · 1001 yazılır. 1001 = 7 · 11 · 13 olduğundan bu sayılar her zaman 13'ün katıdır. Dört basamaklı abab sayılarında geçerli olan 101 çarpanını buraya taşıyan öğrenci E şıkkını işaretler; oysa 1001 sayısı 101'in katı değildir. 11 çarpanı her zaman bulunsa da 33 için ayrıca abc sayısının 3 ile bölünmesi gerekir; 100100 örneğinde 100 sayısı 3 ile bölünmediğinden B de her zaman doğru değildir. Cevap A.