Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Bölme – Bölünebilme konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
2 kolay5 orta8 zor
Bir bölme işleminde kalan 8'dir. Buna göre bölen en az kaç olabilir?
Doğru cevap: B — 9
Bölme algoritmasında kalan daima bölenden küçüktür: Kalan < Bölen. Kalan 8 olduğuna göre bölen 8'den büyük olmalıdır; bu koşulu sağlayan en küçük doğal sayı 9'dur. Kalan ile bölenin eşit olabileceğini sanan öğrenci A şıkkını işaretler; oysa bölen 8 olsaydı kalan 8 olamaz, bölüm 1 artardı. Cevap B.
Bir doğal sayının 7 ile bölümünden elde edilen bölüm ile kalanın toplamı 20'dir. Bölüm, kalanın 4 katı olduğuna göre bölünen sayı kaçtır?
Doğru cevap: C — 116
Kalan k ise bölüm 4k'dır ve k + 4k = 20 eşitliğinden 5k = 20, k = 4 bulunur. Buradan bölüm 16 olur ve 4 < 7 koşulu sağlanır. Bölme algoritmasına göre bölünen 7 · 16 + 4 = 112 + 4 = 116'dır. Kalanı eklemeyi unutan öğrenci B şıkkını işaretler. Cevap C.
458 sayısı 17 ile bölündüğünde elde edilen bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 42
Bölme algoritmasına göre 458 = 17 · 26 + 16 yazılır ve 16 < 17 olduğundan bölüm 26, kalan 16'dır. İstenen toplam 26 + 16 = 42 bulunur. Yalnızca bölümü yazan öğrenci B şıkkını, yalnızca kalanı yazan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap C.
A doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 7, B doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 5'tir. Buna göre A^2 + B^2 toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
Kalanlarla çalışılabilir: A^2 için 7^2 = 49 ve 49 = 9 · 5 + 4 olduğundan kalan 4; B^2 için 5^2 = 25 ve 25 = 9 · 2 + 7 olduğundan kalan 7'dir. Toplamın kalanı 4 + 7 = 11 sayısının 9 ile bölümünden kalan, yani 2'dir. Önce kalanları toplayıp sonra karesini alan öğrenci (7 + 5)^2 = 144 işleminden 144 = 9 · 16 sonucuna varır ve A şıkkını işaretler. Cevap B.
200 ile 300 arasındaki (200 ve 300 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi hem 5 hem 7 ile bölündüğünde 3 kalanını verir?
Doğru cevap: A — 3
Sayının 3 eksiği hem 5'e hem 7'ye tam bölünür, yani EKOK(5, 7) = 35'in katıdır. Sayı 35k + 3 biçimindedir: 3, 38, 73, 108, 143, 178, 213, 248, 283, 318, ... Bu değerlerden 200 ile 300 arasında olanlar 213, 248 ve 283 olmak üzere 3 tanedir. EKOK yerine 5 + 7 = 12 ile ilerleyen öğrenci aralıkta çok daha fazla terim sayar. Cevap A.
n bir pozitif tam sayı olmak üzere 25^n - 1 biçimindeki sayılar her zaman aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
Doğru cevap: D — 24
25 = 24 + 1 olduğundan 25^n sayısının 24 ile bölümünden kalan 1^n = 1'dir; buradan 25^n - 1 farkı her zaman 24'ün katıdır. n = 1 için 24, n = 2 için 624 = 24 · 26 sonuçları bunu doğrular. n = 2 durumunda çıkan 624 sayısının 26 ile de bölündüğünü görüp bunu genelleyen öğrenci E şıkkını işaretler; oysa n = 1 için 24 sayısı 26 ile bölünmez. Cevap D.
3^2024 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
3'ün kuvvetlerinin 5 ile bölümünden kalanlar 3, 4, 2, 1 biçiminde dörtlü devreder; nitekim 3^4 = 81 = 5 · 16 + 1'dir. 2024 = 4 · 506 olduğundan 3^2024 = (3^4)^506 yazılır ve kalan 1^506 = 1 bulunur. Üssü doğrudan 5'e bölüp 2024 = 5 · 404 + 4 işlemindeki 4 kalanını cevap sanan öğrenci E şıkkına yönelir; devir üsse göre değil, tabanın kuvvetlerinin 5'e göre kalanlarına göre kurulur. Cevap B.
İki basamaklı kaç doğal sayı, kendi rakamlarının toplamına tam bölünür?
Doğru cevap: E — 23
Sayı 10a + b, rakamlar toplamı a + b'dir. Onluk basamağa göre tarama yapılırsa koşulu sağlayan sayılar 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84 ve 90 olmak üzere 23 tanedir. Yalnızca 10, 20, ..., 90 biçimindeki tam onlukları ve birkaç bariz örneği sayan öğrenci daha küçük değerlerden biri olan A şıkkına yönelir. Cevap E.
Rakamlarının toplamı 20 olan üç basamaklı bir sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir. Rakamlar toplamı 20 olduğundan 20 = 9 · 2 + 2 işleminden kalan 2 bulunur; bu sonuç sayının hangi üç basamaklı sayı olduğuna bağlı değildir. 20'yi 9'un katı sanan öğrenci ise sayının 9 ile tam bölündüğünü düşünüp kalanı 0 alır ve A şıkkına yönelir. Cevap C.
Ardışık dört tam sayının çarpımı her zaman aşağıdakilerden hangisine tam bölünür?
Doğru cevap: E — 24
Ardışık dört tam sayının içinde mutlaka bir tanesi 4'ün, bir başkası 2'nin katıdır; ayrıca en az biri 3'ün katıdır. Böylece çarpım 4 · 2 · 3 = 24 ile her zaman bölünür. Dört sayının ikisinin çift olmasından hareketle çarpımın 16'nın katı olacağını düşünen öğrenci B şıkkını işaretler; oysa 1 · 2 · 3 · 4 = 24 sayısı 16 ile tam bölünmez. Cevap E.
A doğal sayısının 8 ile bölümünden kalan 5, B doğal sayısının 8 ile bölümünden kalan 3'tür. Buna göre A^2 - B^2 farkının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 0
Kalanlarla çalışılır: A^2 için 5^2 = 25 ve 25 = 8 · 3 + 1 olduğundan kalan 1; B^2 için 3^2 = 9 ve 9 = 8 + 1 olduğundan kalan yine 1'dir. Fark için 1 - 1 = 0 bulunur, yani A^2 - B^2 farkı 8 ile tam bölünür. Kalanların farkını alıp 5 - 3 = 2 sonucunu karesiz bırakan öğrenci C şıkkını, farkın karesini alıp (5 - 3)^2 = 4 diyen öğrenci D şıkkını işaretler. Cevap A.
A doğal sayısının 7 ile bölümünden kalan 4'tür. Buna göre A^3 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
Kalanlarla çalışılır: 4^3 = 64 ve 64 = 7 · 9 + 1 olduğundan A^3 sayısının 7 ile bölümünden kalan 1'dir. Küp alınınca kalanın değişmeyeceğini düşünen öğrenci D şıkkını, kalanı 3 ile çarpıp 12'yi indirgeyen öğrenci ise 12 = 7 + 5 hesabıyla yanlış bir yola sapar. Cevap A.
Bir doğal sayının 6 ile bölümünden kalan 4, 10 ile bölümünden kalan 8'dir. Buna göre bu sayının 30 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 28
Her iki bölmede de bölen ile kalan farkı 2'dir: 6 - 4 = 10 - 8 = 2. Bu durumda sayının 2 fazlası hem 6'ya hem 10'a, dolayısıyla EKOK(6, 10) = 30'a tam bölünür. Sayı 30k - 2 = 30(k - 1) + 28 biçiminde olduğundan kalan 28'dir. Kalanlardan büyüğünü doğrudan yazan öğrenci A şıkkını işaretler. Cevap E.
1'den 1000'e kadar olan (1000 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi 6 ile bölündüğünde 2 kalanını verir ancak 4 ile tam bölünmez?
Doğru cevap: A — 84
6 ile bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar 2, 8, 14, ..., 998 biçiminde 6'şar artar ve (998 - 2) / 6 + 1 = 167 tanedir. Bunlardan 4 ile tam bölünenler hem 6k + 2 hem 4'ün katı olan sayılardır; bu sayılar 12t + 8 biçiminde olup 8, 20, ..., 992 sıralamasıyla (992 - 8) / 12 + 1 = 83 tanedir. İstenen adet 167 - 83 = 84'tür. İkinci koşulu göz ardı eden öğrenci E gibi yalnızca birinci gruba dayanan bir değere yönelir. Cevap A.
4A5B dört basamaklı sayısı 36 ile tam bölünmektedir. Buna göre A · B çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: C — 18
36 = 4·9 ve 4 ile 9 aralarında asal olduğundan sayı hem 4 hem de 9 ile tam bölünmelidir. 4 ile bölünebilme son iki basamağa bakar: 5B sayısı 4'ün katı olmalıdır, bu da B = 2 ya da B = 6 verir. 9 ile bölünebilme için rakamlar toplamı 4 + A + 5 + B = 9 + A + B sayısı 9'un katı olmalıdır, yani A + B = 9 olmalıdır. B = 2 için A = 7 ve çarpım 14; B = 6 için A = 3 ve çarpım 18 bulunur, en büyüğü 18'dir. B seçeneğindeki 14 ilk çözümde durulduğunda elde edilir. D seçeneğindeki 20 ise yalnız 9 ile bölünebilme kuralı kullanılıp A + B = 9 koşulunu sağlayan rakamlar arasından çarpımı en büyük olan 4 ile 5 seçildiğinde, yani 4 ile bölünebilme koşulu atlandığında ortaya çıkar. Cevap C.
