Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 127 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay6 orta6 zor
EKOK(9, 12, 15) kaçtır?
Doğru cevap: C — 180
Sayılar asal çarpanlarına ayrılır: 9 = 3^2, 12 = 2^2 · 3, 15 = 3 · 5'tir. EKOK alınırken görülen tüm asal çarpanların en büyük üsleri çarpılır: 2^2 · 3^2 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180 bulunur. Üç sayıyı doğrudan çarpıp 9 · 12 · 15 = 1620 diyen ya da 3'ün üssünü fazladan alan öğrenci E şıkkı gibi gereğinden büyük bir değere yönelir. Cevap C.
İki doğal sayının EBOB'u 15, EKOK'u 90'dır. Bu sayıların farkı 15 olduğuna göre büyük olan sayı kaçtır?
Doğru cevap: B — 45
Sayılar 15m ve 15n (m ile n aralarında asal, m < n) biçiminde yazılır. EKOK 15mn = 90 olduğundan mn = 6 ve fark 15(n - m) = 15 olduğundan n - m = 1 bulunur. Buradan m = 2, n = 3 gelir ve sayılar 30 ile 45'tir; büyük olan 45'tir. mn = 6 için (1, 6) ikilisini seçip fark koşulunu denetlemeyen öğrenci sayıları 15 ve 90 alarak E şıkkını işaretler. Cevap B.
EBOB(72, 120) kaçtır?
Doğru cevap: D — 24
Sayılar asal çarpanlarına ayrılır: 72 = 2^3 · 3^2 ve 120 = 2^3 · 3 · 5'tir. EBOB'da ortak asal çarpanların küçük üsleri çarpılır: 2^3 · 3 = 24 bulunur. 3'ün üssünü büyük seçen öğrenci 2^3 · 3^2 = 72 der; yalnızca 2'nin kuvvetini alıp 3 çarpanını unutan öğrenci ise B şıkkını işaretler. Cevap D.
1050 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — 2 · 3 · 5^2 · 7
1050 sayısı sırayla asal sayılara bölünür: 1050 / 2 = 525, 525 / 3 = 175, 175 / 5 = 35, 35 / 5 = 7 ve 7 / 7 = 1'dir. Buna göre 1050 = 2 · 3 · 5^2 · 7 yazılır. 5'e iki kez bölündüğünü fark etmeyip üssü 3'e veren öğrenci C gibi çarpımı 1050'den farklı olan bir şıkkı işaretler. Cevap A.
Aralarında asal olan iki basamaklı iki doğal sayının EKOK'u 240'tır. Buna göre bu iki sayının farkı kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
Sayılar aralarında asal olduğundan EKOK'ları çarpımlarına eşittir: a · b = 240. 240 = 2^4 · 3 · 5 sayısının aralarında asal çarpan ikilileri (1, 240), (3, 80), (5, 48) ve (15, 16) biçimindedir. Bunlardan her iki sayısı da iki basamaklı olan tek ikili 15 ile 16'dır; farkları 16 - 15 = 1'dir. Sayıların farkı yerine küçük sayının kendisini yanıt sanan öğrenci E şıkkını işaretler. Cevap A.
5 ile bölündüğünde 3, 6 ile bölündüğünde 5, 7 ile bölündüğünde 4 kalanını veren en küçük pozitif doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: A — 53
Bölen ile kalan farkları eşit olmadığından kısayol yoktur. 6 ile bölündüğünde 5 kalanını veren sayılar 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, ... biçimindedir; bunlardan 5'e bölümünden 3 kalanını verenler 23, 53, 83, ... yani 30'ar artan sayılardır. Bu listede 7 ile bölümünden 4 kalanını veren ilk sayı 53'tür (53 = 7 · 7 + 4). Şıkların tümü ilk iki koşulu sağladığından belirleyici olan üçüncü koşuldur; 53'ün 7 ile bölümünden kalanını yanlış hesaplayıp listedeki bir sonraki terime geçen öğrenci 83 bulup B şıkkını seçer (oysa 83 = 7 · 11 + 6'dır). Cevap A.
24 ile 36 sayılarının ortak pozitif tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 28
İki sayının ortak bölenleri, EBOB'larının bölenleridir. 24 = 2^3 · 3 ve 36 = 2^2 · 3^2 olduğundan EBOB(24, 36) = 2^2 · 3 = 12'dir. 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 olup toplamları 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28'dir. EBOB'un kendisini cevap sanan öğrenci A şıkkını, 12'yi toplama katmayan öğrenci ise B şıkkını işaretler. Cevap D.
Uzunlukları 3 m, 4 m 50 cm ve 6 m olan üç ip, hiç artmayacak biçimde eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Parça sayısı en az olacak biçimde kesim yapıldığında toplam kaç parça elde edilir?
Doğru cevap: B — 9
Uzunluklar santimetreye çevrilir: 300 cm, 450 cm ve 600 cm. Parça sayısının en az olması için parça uzunluğu en büyük seçilmelidir; bu da EBOB'dur. 300 = 2^2 · 3 · 5^2, 450 = 2 · 3^2 · 5^2 ve 600 = 2^3 · 3 · 5^2 olduğundan EBOB = 2 · 3 · 5^2 = 150 cm'dir. Parça sayısı 300 / 150 + 450 / 150 + 600 / 150 = 2 + 3 + 4 = 9 olur. Parça uzunluğunu 150 cm doğru bulup 450 cm'lik ipin 3 parçasını toplama katmayı unutan öğrenci 2 + 4 = 6 sonucundan A şıkkına yönelir. Cevap B.
1'den 100'e kadar olan (100 dâhil) doğal sayılardan kaç tanesi 12 ile aralarında asaldır?
Doğru cevap: E — 33
12 = 2^2 · 3 olduğundan bir sayının 12 ile aralarında asal olması, o sayının ne 2 ile ne de 3 ile bölünmesi demektir. 100'e kadar 2'nin katları 50, 3'ün katları 33, 6'nın katları 16 tanedir; en az biriyle bölünenler 50 + 33 - 16 = 67 sayıdır. Geriye 100 - 67 = 33 sayı kalır. 12 ile aralarında asal olmayı asal sayı olmak sanan öğrenci 100'e kadarki 25 asal sayıyı sayıp B şıkkını işaretler. Cevap E.
Toplamları 60 olan ve aralarında asal olan iki pozitif doğal sayının çarpımı en çok kaç olabilir?
Doğru cevap: D — 899
Toplamı sabit olan iki sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür. En yakın ikili 30 ile 30'dur, ancak EBOB(30, 30) = 30 olduğundan aralarında asal değildir. Bir sonraki adayda 29 ile 31 sayıları alınır; ikisi de asal olduğundan aralarında asaldır ve çarpımları 29 · 31 = 899'dur. Aralarında asal olma koşulunu gözden kaçırıp 30 · 30 = 900 diyen öğrenci E şıkkını, 23 ile 37 gibi daha uzak bir ikilide duran öğrenci ise C şıkkına yönelir. Cevap D.
Oranı 7/9 olan iki doğal sayının EBOB'u 8'dir. Buna göre bu iki sayının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 128
Sayılar 7k ve 9k biçiminde yazılır; 7 ile 9 aralarında asal olduğundan EBOB k'ya eşittir, yani k = 8'dir. Sayılar 56 ile 72 olur ve toplamları 56 + 72 = 128'dir. Toplam yerine EKOK'u hesaplayan öğrenci 7 · 9 · 8 = 504 sonucundan E şıkkını işaretler. Cevap A.
Bir doğal sayı hem 6 hem de 8 ile tam bölünmektedir. Buna göre bu sayı aşağıdakilerden hangisiyle her zaman tam bölünmez?
Doğru cevap: E — 16
Hem 6 hem 8 ile bölünen sayılar EKOK(6, 8) = 24'ün katlarıdır. 24 = 2^3 · 3 olduğundan bu sayılar her zaman 2, 4, 8 ve 12 ile tam bölünür. 16 = 2^4 için ise 24 sayısının kendisi karşı örnektir: 24 sayısı 16 ile tam bölünmez. 6 ile 8'i doğrudan çarpıp 48'i ölçüt alan öğrenci 48 = 16 · 3 olduğunu görüp 16'yı da her zaman bölen sanar ve D gibi kesin bölenlerden birini yanıt olarak işaretler. Cevap E.
Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi hem 4 hem de 9 ile tam bölünür?
Doğru cevap: B — 25
Hem 4 hem 9 ile bölünen sayılar EKOK(4, 9) = 36'nın katlarıdır. 999 = 36 · 27 + 27 olduğundan 999'a kadar 36'nın 27 katı vardır; bunlardan üç basamaklı olmayan 36 ve 72 çıkarılır. Geriye 27 - 2 = 25 sayı kalır. İki basamaklı katları elemeyi unutan öğrenci C şıkkını işaretler. Cevap B.
EBOB'u 14 olan iki doğal sayının toplamı 126'dır. Buna göre bu iki sayının çarpımı en çok kaç olabilir?
Doğru cevap: E — 3920
Sayılar 14m ve 14n (m ile n aralarında asal) biçiminde yazılır. Toplam 14(m + n) = 126 olduğundan m + n = 9 bulunur. Aralarında asal ikililer (1, 8), (2, 7) ve (4, 5)'tir; çarpımlar 196mn biçiminde olduğundan mn çarpımı en büyük olan (4, 5) ikilisi seçilir: 196 · 20 = 3920. Sayılar 56 ile 70'tir. mn için (2, 7) ikilisinde duran öğrenci 196 · 14 = 2744 sonucundan B şıkkını işaretler. Cevap E.
EBOB'u 6, EKOK'u 90 olan kaç farklı (a, b) doğal sayı ikilisi yazılabilir? (a ≤ b alınacaktır.)
Doğru cevap: B — 2
Sayılar 6m ve 6n (m ile n aralarında asal, m ≤ n) biçiminde yazılır. EKOK 6mn = 90 olduğundan mn = 15 bulunur. Çarpımları 15 olan ve aralarında asal olan ikililer (1, 15) ve (3, 5)'tir; her ikisi de uygundur. Buradan sayı ikilileri (6, 90) ve (18, 30) olmak üzere 2 tanedir. Sorudaki a ≤ b koşulunu gözden kaçırıp (1, 15), (15, 1), (3, 5) ve (5, 3) sıralamalarını ayrı sayan öğrenci 4 ikili bulup D şıkkına yönelir. Cevap B.
