Asal Çarpanlar, OBEB – OKEK — Test 9

Doğru cevap: C — 20

Küpün ayrıtı üç boyutu da tam bölmeli ve en büyük olmalıdır; bu da EBOB'dur. 40 = 2^3 · 5, 60 = 2^2 · 3 · 5 ve 100 = 2^2 · 5^2 olduğundan EBOB = 2^2 · 5 = 20 cm bulunur. 2'nin üssünü 2 yerine 1 alan öğrenci 2 · 5 = 10 sonucundan B şıkkına, yalnızca ortak 5 çarpanını gören öğrenci ise A şıkkına yönelir. Cevap C.

Doğru cevap: C — 14

Bir sayının tam kare olması için asal çarpanlarına ayrılmış biçimindeki bütün üslerin çift olması gerekir. 504 = 2³·3²·7 yazılır; burada 3'ün üssü zaten çifttir, 2'nin üssü 3 ve 7'nin üssü 1 olduğundan tek kalan asallar 2 ve 7'dir. Bu üsleri çift yapmak için sayı en az 2·7 = 14 ile çarpılmalıdır; gerçekten 504·14 = 7056 = 84²'dir. A seçeneğindeki 2, yalnızca 2'nin üssü düzeltilip 7'nin unutulmasından; B seçeneğindeki 7 ise tersine yalnızca 7'nin dikkate alınmasından doğar. D seçeneğindeki 21 de üssü zaten çift olan 3'ün gereksiz yere katılmasıyla ortaya çıkar. Cevap C.

Doğru cevap: E — 8

Faktöriyelde bir asal çarpanın üssü, Legendre kuralıyla bulunur: sayı arka arkaya o asalın kuvvetlerine bölünüp bölümlerin tam kısımları toplanır. 50 : 7 = 7 (tam kısım), 50 : 49 = 1 (tam kısım), 50 < 343 olduğu için işlem burada biter. Üs 7 + 1 = 8'dir. D seçeneğindeki 7, yalnızca 7'nin katları sayılıp 49 = 7² sayısının iki tane 7 çarpanı getirdiğinin gözden kaçırılmasından doğar. C seçeneğindeki 6 ise 1'den 50'ye kadar 7'nin katlarının (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49) eksik sayılmasından kaynaklanır. Cevap E.

Doğru cevap: C — 497

Her iki kalanda da bölen ile kalan arasındaki fark 7'dir (12 − 5 = 7 ve 18 − 11 = 7). Bu durumda sayının 7 fazlası hem 12'ye hem 18'e tam bölünür, yani N + 7 sayısı OKEK(12, 18) = 36'nın katıdır. Buradan N = 36t − 7 = 36t + 29 elde edilir: 29, 65, 101, …, 425, 461, 497, 533. 500'den küçük olanların en büyüğü 497'dir. E seçeneğindeki 533 koşulları sağlar ama 500 sınırını aşar; B seçeneğindeki 461 de bir önceki çözümdür. A seçeneğindeki 437 ise yalnızca birinci koşulu sağlar, 18 ile bölümünden kalan 11 değil 5'tir. Cevap C.

Doğru cevap: B — 6

1260 sayısı ardışık bölmelerle asal çarpanlarına ayrılır: 1260 = 2·630 = 2·2·315 = 2²·3·105 = 2²·3·3·35 = 2²·3²·5·7. Buradan a = 2, b = 2, c = 1, d = 1 olur ve toplam 2 + 2 + 1 + 1 = 6 bulunur. A seçeneğindeki 4, üsler yerine birbirinden farklı asal çarpanların sayısının yazılmasından doğar. E seçeneğindeki 17 ise üsler yerine asal çarpanların kendilerinin toplanmasından (2 + 3 + 5 + 7) kaynaklanır. Cevap B.

Doğru cevap: D — 15

p² · q sayısının bölenleri toplamı, çarpanlara göre ayrılarak (1 + p + p²)·(1 + q) biçiminde yazılır. Bu çarpım 124'e eşitlenir; 124 = 2²·31 olduğundan çarpan ikilileri 4·31, 31·4, 2·62 ve 62·2'dir. 1 + p + p² = 31 alınırsa p² + p − 30 = 0 denkleminden p = 5 bulunur ve asaldır; buradan 1 + q = 4, yani q = 3 çıkar ve o da asaldır. Diğer ayrışımlar p ya da q için asal olmayan değerler verdiğinden tek çözüm p = 5, q = 3'tür ve p · q = 15'tir. A seçeneğindeki 6, akla ilk gelen küçük asallar olan 2 ile 3'ün bölenler toplamı denetlenmeden alınmasından doğar; oysa 2²·3 = 12 sayısının bölenleri toplamı 28'dir. C seçeneğindeki 14 ise p + q yerine yapılan bir toplama-çarpma karışıklığında p = 7, q = 2 denenmesinden kaynaklanır, bu çift bölenler toplamını 171 yapar. Cevap D.

Doğru cevap: A — 96

EBOB'u 12 olan sayılar a = 12m ve b = 12n biçiminde yazılır; burada m ile n aralarında asaldır. Çarpım koşulu 144·m·n = 2160 verir, yani m·n = 15'tir. 15'i aralarında asal iki çarpana ayırmanın yolları 1·15 ve 3·5'tir. Birinci durumda sayılar 12 ve 180 olup toplam 192, ikinci durumda 36 ile 60 olup toplam 96'dır; en küçük toplam 96'dır. E seçeneğindeki 192 ikinci ayrışım denenmeden ilk çiftte durulduğunda elde edilir. D seçeneğindeki 180 ise EBOB · EKOK = çarpım bağıntısından bulunan EKOK değerinin (2160 : 12 = 180) cevap sanılmasından kaynaklanır; sorulan ise sayıların toplamıdır. Cevap A.