Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler konusundan 6 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 126 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 9. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay3 orta2 zor
x^3 - 8 = (x - 2) · A olduğuna göre A ifadesinin x = 4 için değeri kaçtır?
Doğru cevap: E — 28
Küp farkı özdeşliğinden A = x^2 + 2x + 4'tür. x = 4 için 16 + 8 + 4 = 28 bulunur. C (20), ikinci çarpanı x^2 + 4 sanıp orta terimi yazmayanların sonucudur. Cevap E.
x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere x² − y² = 96 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?
Doğru cevap: A — 4
İki kare farkı çarpanlarına ayrılır: (x − y)(x + y) = 96. Burada x − y ile x + y aynı türden olmak zorundadır; çünkü toplamları 2x, yani çifttir. 96 çift olduğundan her iki çarpan da çift olmalıdır. 96'yı iki çift çarpanın çarpımı olarak yazmanın ve küçük çarpanı önce almanın yolları 2·48, 4·24, 6·16 ve 8·12'dir. Bunlardan sırasıyla (25, 23), (14, 10), (11, 5) ve (10, 2) ikilileri elde edilir, yani 4 çözüm vardır. C seçeneğindeki 6, parite koşulu gözetilmeden 96'nın bütün çarpan ikililerinin (1·96, 2·48, 3·32, 4·24, 6·16, 8·12) sayılmasından doğar; 1·96 ve 3·32 gibi ayrışımlar x ve y'yi tam sayı yapmaz. E seçeneğindeki 12 ise 96'nın pozitif tam bölen sayısının doğrudan cevap sanılmasından kaynaklanır. Cevap A.
a pozitif bir tam sayı, b ve c tam sayılar olmak üzere 3x² − 5x − 2 ifadesi (ax + b)(x + c) biçiminde çarpanlarına ayrılıyor. Buna göre a + b + c toplamı kaçtır?
Doğru cevap: E — 2
Baş katsayı 3 asal olduğundan çarpanlar (3x + b)(x + c) biçimindedir; bu durumda a = 3'tür. Çarpım açıldığında sabit terim b·c = −2 ve x'in katsayısı 3c + b = −5 olmalıdır. b = 1, c = −2 alındığında 3·(−2) + 1 = −5 sağlanır, yani 3x² − 5x − 2 = (3x + 1)(x − 2) olur ve a + b + c = 3 + 1 − 2 = 2 bulunur. C seçeneğindeki −2, ifadenin (−3x − 1)(−x + 2) biçiminde yazılmasından doğar; bu ayrışım da doğru çarpımı verir ama a > 0 koşulunu bozar. D seçeneğindeki 0 ise işaretler karıştırılıp b = −1, c = −2 alınmasından kaynaklanır, oysa bu değerlerle çarpım 3x² − 7x + 2 olur. Cevap E.
x sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere x² − 3x + 1 = 0 olduğuna göre x⁴ + 1/x⁴ ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 47
Denklemin her terimi x ile bölünürse x − 3 + 1/x = 0, yani x + 1/x = 3 elde edilir. Bu eşitliğin karesi alınıp (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² açılımı kullanılırsa x² + 1/x² = 9 − 2 = 7 bulunur. Aynı yöntem bir kez daha uygulanır: (x² + 1/x²)² = x⁴ + 2 + 1/x⁴ olduğundan x⁴ + 1/x⁴ = 7² − 2 = 47'dir. A seçeneğindeki 7, işlemin bir adım önce durdurulup x² + 1/x² değerinin yazılmasından doğar. E seçeneğindeki 49 ise son adımda kare alındıktan sonra 2 çıkarmanın unutulmasından kaynaklanır. Cevap D.
a, b ve c gerçek sayıları için a + b + c = 9, ab + bc + ca = 23 ve a·b·c = 15 olduğuna göre a³ + b³ + c³ toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — 153
Üç değişkenli özdeşlik kullanılır: a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)·(a² + b² + c² − ab − bc − ca). Önce a² + b² + c² = (a + b + c)² − 2(ab + bc + ca) = 81 − 46 = 35 bulunur. Buradan parantez içi 35 − 23 = 12 olur ve özdeşlik 9·12 = 108 verir. Son olarak 3abc = 45 eklenir: a³ + b³ + c³ = 108 + 45 = 153'tür. A seçeneğindeki 108, eşitliğin sol tarafındaki 3abc teriminin geri eklenmesinin unutulmasından doğar. D seçeneğindeki 360 ise a² + b² + c² hesaplanırken ikinci simetrik toplamın 2 katı yerine kendisinin çıkarılmasından (81 − 23 = 58) kaynaklanır. Cevap B.
199² − 199 · 198 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 199
İki terimde de ortak çarpan 199'dur; ortak çarpan parantezine alınırsa 199·(199 − 198) yazılır. Parantez içi 1 olduğundan sonuç 199·1 = 199'dur. A seçeneğindeki 1, parantez içindeki farkın sonucun kendisi sanılmasından, yani ortak çarpanla çarpmanın unutulmasından doğar. D seçeneğindeki 397 ise çarpanlara ayırma yerine 199 + 198 toplamının alınmasından kaynaklanır. E seçeneğindeki 597 de parantez içi 3 sanıldığında ortaya çıkar. Cevap C.
