Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 126 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
2 kolay6 orta7 zor
a + b = 8 ve a · b = 15 olduğuna göre a^2 + b^2 kaçtır?
Doğru cevap: B — 34
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğinden a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab yazılır. 64 - 2 · 15 = 64 - 30 = 34 bulunur. C (49), 2ab yerine yalnızca ab çıkaranların sonucudur. A (30) ise sadece 2ab değerini yazanların hatasıdır. Cevap B.
4x^2 - 12x + 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — (2x - 3)^2
Baş terim (2x)^2, son terim 3^2 ve orta terim -2 · 2x · 3 = -12x'tir. İfade tam kare açılımıdır: (2x - 3)^2. C ((2x - 3)(2x + 3)), yalnızca baş ve son terime bakıp iki kare farkı uygulayanların sonucudur. Cevap A.
x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere x^2 - y^2 = 45 ve x - y = 3 olduğuna göre x · y çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: D — 54
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) olduğundan 45 = 3 · (x + y) → x + y = 15. x - y = 3 ile birlikte çözülürse x = 9 ve y = 6 bulunur. 9 · 6 = 54 elde edilir. C (45), sorulan x · y çarpımı yerine soruda verilen x^2 - y^2 değerini yazanların sonucudur. Cevap D.
49x^2 - 36 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (7x - 6)(7x + 6)
İfade iki kare farkıdır: 49x^2 = (7x)^2 ve 36 = 6^2. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) özdeşliğiyle (7x - 6)(7x + 6) bulunur. A ((7x - 6)^2), iki kare farkını tam kare ile karıştıranların sonucudur. Cevap E.
a + b = 6 ve a^3 + b^3 = 90 olduğuna göre a^2 + b^2 kaçtır?
Doğru cevap: E — 22
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) → 90 = 6 · (a^2 - ab + b^2) → a^2 - ab + b^2 = 15. a^2 + b^2 = 36 - 2ab olduğundan 36 - 2ab - ab = 15 → 3ab = 21 → ab = 7. a^2 + b^2 = 36 - 14 = 22 bulunur. B (15), ara adımda bulunan a^2 - ab + b^2 değerini yanıt sanıp yazanların sonucudur. Cevap E.
(x^2 - x - 6)/(x^2 - 4) rasyonel ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? (x ≠ 2, x ≠ -2)
Doğru cevap: D — (x - 3)/(x - 2)
Pay çarpanlarına ayrılır: x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2). Payda iki kare farkıdır: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Ortak çarpan (x + 2) sadeleşir: (x - 3)/(x - 2). B ((x - 3)/(x + 2)), paydadaki çarpanlardan yanlış olanı sadeleştirenlerin sonucudur. Cevap D.
x ≠ 0 olmak üzere (x + 1/x)^2 - (x - 1/x)^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 4
İki kare farkı olarak yazılır: [(x + 1/x) - (x - 1/x)] · [(x + 1/x) + (x - 1/x)]. Birinci parantez 2/x, ikinci parantez 2x olur: (2/x) · 2x = 4. A (0), iki parantezin açılımlarını birebir aynı sanıp farkı sıfır kabul edenlerin sonucudur. Cevap D.
x + y = 7 ve x · y = 10 olduğuna göre x^2·y + x·y^2 kaçtır?
Doğru cevap: E — 70
İfade ortak çarpan parantezine alınır: x^2y + xy^2 = xy(x + y). 10 · 7 = 70 bulunur. B (17), çarpım yerine verilen iki değeri toplayanların sonucudur. Cevap E.
(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Doğru cevap: E — x^8 - 1
İlk iki çarpan iki kare farkını verir: (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1. (x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - 1 ve (x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1 olur. Çarpmada üsler toplanır; son adımda x^4 · x^4 için üsleri toplamak yerine çarpıp 4 · 4 = 16 diyenler x^16 - 1, yani D şıkkını bulur. Cevap E.
√(2024^2 - 2 · 2024 + 1) işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 2023
Kök içi tam kare açılımıdır: a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2. (2024 - 1)^2 = 2023^2 olduğundan kökü 2023'tür. D (2024), kök içindeki ifadeyi doğrudan 2024^2 sanıp diğer terimleri göz ardı edenlerin sonucudur. Cevap C.
x ≠ 0 olmak üzere x^2 - 6x + 1 = 0 olduğuna göre x^3 + 1/x^3 kaçtır?
Doğru cevap: B — 198
Denklem x'e bölünürse x - 6 + 1/x = 0 → x + 1/x = 6 olur. x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3(x + 1/x) = 216 - 18 = 198 bulunur. D (216), küpü aldıktan sonra 3(x + 1/x) terimini çıkarmayı unutanların sonucudur. Cevap B.
a + b = 5 ve a · b = 6 olduğuna göre a^3 + b^3 + 3ab(a + b) kaçtır?
Doğru cevap: D — 125
İfade küp açılımının kendisidir: a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3. (a + b)^3 = 5^3 = 125 bulunur. Terimleri ayrı ayrı hesaplamak isteyen öğrenci a^3 + b^3 = 125 - 90 = 35 bulur; buna 3ab(a + b) = 3 · 6 · 5 = 90 eklenince yine 125 çıkar. C (95), bu adımda küp açılımının 3 katsayısı yerine kare açılımının 2 katsayısını kullanıp 2ab(a + b) = 2 · 6 · 5 = 60 ekleyenlerin sonucudur (35 + 60 = 95). Cevap D.
a^2 + b^2 = 74 ve a · b = 35 olduğuna göre |a - b| kaçtır?
Doğru cevap: A — 2
(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab özdeşliği kullanılır. 74 - 70 = 4 → |a - b| = 2 bulunur. B (4), (a - b)^2 değerini bulup karekök almayı unutanların sonucudur. Cevap A.
999 · 1001 çarpımının sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 999999
Çarpanlar 1000'e göre yazılır: (1000 - 1)(1000 + 1). İki kare farkı uygulanır: 1000^2 - 1 = 999999. D (1000001), özdeşlikte 1000^2'ye 1 eklenmesi gerektiğini sanan, yani işareti ters alanların sonucudur. Cevap C.
x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 0 olduğuna göre x + y kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
Terimler tam kareye tamamlanır: (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 0. (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0 olur; kareler toplamı ancak her ikisi de sıfırken sıfırdır. x = 3 ve y = -2 olduğundan x + y = 1 bulunur. B (5), y = -2 yerine y = 2 alan, yani tam karedeki işareti ters okuyanların sonucudur. Cevap A.
