Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Denklemler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 124 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay7 orta8 zor
(a + 1)x + 7 = 4x + b denkleminin çözüm kümesi tüm gerçek sayılar olduğuna göre a·b çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: A — 21
Bir denklemin her gerçek sayı için sağlanması, iki tarafın özdeş olmasını gerektirir. x'in katsayıları eşitlenir: a + 1 = 4 → a = 3; sabit terimler eşitlenir: b = 7. a·b = 3·7 = 21 bulunur. Katsayı eşitliğinde +1 gözden kaçırılıp a = 4 alınırsa 4·7 = 28 (C şıkkı) elde edilir. Cevap A.
x^2 - (m + 4)x + 2m = 0 denkleminin kökleri toplamı, kökleri çarpımına eşit olduğuna göre m kaçtır?
Doğru cevap: E — 4
Kök-katsayı bağıntılarından kökler toplamı m + 4, kökler çarpımı 2m'dir. Koşul gereği m + 4 = 2m yazılır ve buradan m = 4 bulunur. m = 4 için denklem x^2 - 8x + 8 = 0 olur; Δ = 64 - 32 = 32 > 0 olduğundan kökler gerçektir. A (-4), m + 4 = 2m eşitliğinde 4 sayısı karşı tarafa atılırken işareti değiştirilmeyip m - 2m = 4, yani -m = 4 yazanların sonucudur. Cevap E.
5/(x - 3) = 2/(x + 6) denkleminin çözümü kaçtır?
Doğru cevap: A — -12
İçler dışlar çarpılır: 5(x + 6) = 2(x - 3). 5x + 30 = 2x - 6 → 3x = -36 olur. x = -12 bulunur. Terimler karşıya atılırken işaret değişimi unutulup 3x = 36 yazılırsa 12 (E şıkkı) elde edilir. Cevap A.
x^2 - 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre x1/x2 + x2/x1 toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — 7
Kök-katsayı bağıntılarından x1 + x2 = 6 ve x1·x2 = 4'tür. İstenen ifade paydada eşitlenir: (x1^2 + x2^2)/(x1·x2). x1^2 + x2^2 = 6^2 - 2·4 = 28 olduğundan sonuç 28/4 = 7 bulunur. Paydaya bölme adımı unutulup yalnızca kareler toplamı olan 28 (E şıkkı) işaretlenmesi tipik bir hatadır. Cevap B.
x^2 - 6x + 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre 1/x1^2 + 1/x2^2 toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — 8
Kök-katsayı bağıntılarından x1 + x2 = 6 ve x1·x2 = 2'dir. İfade ortak paydada yazılır: (x2^2 + x1^2)/(x1·x2)^2. Pay x1^2 + x2^2 = 36 - 2·2 = 32, payda (x1·x2)^2 = 4 olduğundan sonuç 32/4 = 8'dir. Paydaya bölme adımı atlanıp yalnızca kareler toplamı olan 32 (E şıkkı) işaretlenmesi tipik bir hatadır. Cevap B.
x^2 - mx + (m + 1) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere x1^2 + x2^2 = 22 olduğuna göre m'nin pozitif değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
Kök-katsayı bağıntılarından x1 + x2 = m ve x1·x2 = m + 1'dir. Özdeşlik uygulanır: x1^2 + x2^2 = m^2 - 2(m + 1) = 22 → m^2 - 2m - 24 = 0. (m - 6)(m + 4) = 0 olduğundan m = 6 veya m = -4'tür; istenen pozitif değer 6'dır. m = 6 için Δ = 36 - 28 = 8 > 0 olup kökler gerçektir. Sorudaki "pozitif" koşulu gözden kaçırılıp -4 (A şıkkı) işaretlenmesi sık yapılan bir hatadır. Cevap D.
x^2 - 2x + m = 0 denkleminin gerçek kökünün bulunmaması için m'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
Gerçek kök bulunmaması için diskriminant negatif olmalıdır: Δ = (-2)^2 - 4·1·m < 0. 4 - 4m < 0 → 4 < 4m → m > 1 elde edilir. 1'den büyük en küçük tam sayı 2'dir; m = 2 için Δ = -4 < 0 olduğu doğrulanır. Eşitsizlik Δ ≤ 0 biçiminde alınıp m ≥ 1 sonucuna varılırsa 1 (A şıkkı) işaretlenir; oysa m = 1 için denklemin çakışık gerçek kökü vardır. Cevap B.
x^2 - 7x + 10 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre (x1 - 1)·(x2 - 1) çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: C — 4
Kök-katsayı bağıntılarından x1 + x2 = 7 ve x1·x2 = 10'dur. Çarpım açılır: (x1 - 1)(x2 - 1) = x1·x2 - (x1 + x2) + 1. 10 - 7 + 1 = 4 bulunur; kökler 2 ile 5 olduğundan 1·4 = 4 sonucu doğrulanır. Açılımdaki +1 terimi unutulup 10 - 7 = 3 (B şıkkı) yazılması sık yapılan bir hatadır. Cevap C.
(x - 2)/3 + (x + 4)/6 = 3 denkleminin çözümü kaçtır?
Doğru cevap: E — 6
Paydaların OKEK'i 6 olduğundan her iki taraf 6 ile çarpılır: 2(x - 2) + (x + 4) = 18. 2x - 4 + x + 4 = 18 → 3x = 18 olur. x = 6 bulunur. Sağ taraf 6 ile çarpılmayı unutup 2(x - 2) + (x + 4) = 3 yazılırsa 3x = 3 ve x = 1 (A şıkkı) elde edilir. Cevap E.
2x + (k - 3)y = 7 ve 4x + 2y = 9 denklem sisteminin çözümünün olmaması için k kaç olmalıdır?
Doğru cevap: A — 4
Çözümün olmaması, doğruların paralel olması demektir: x ve y katsayılarının oranları eşit, sabit terim oranı farklı olmalıdır. 2/4 = (k - 3)/2 yazılır; içler dışlar çarpımıyla 4(k - 3) = 4 → k - 3 = 1 ve k = 4 bulunur. Bu değerde 7/9 ≠ 1/2 olduğundan sistem gerçekten çözümsüzdür. Oran 1/2 yerine 1 alınıp k - 3 = 2 çözülürse 5 (B şıkkı) elde edilir. Cevap A.
x/(x - 3) + 2/(x + 3) = 18/(x^2 - 9) denkleminin çözümü kaçtır?
Doğru cevap: A — -8
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) olduğundan ortak payda (x - 3)(x + 3)'tür; x ≠ 3 ve x ≠ -3 koşulu vardır. Her iki taraf ortak payda ile çarpılır: x(x + 3) + 2(x - 3) = 18 → x^2 + 5x - 24 = 0. (x + 8)(x - 3) = 0 olduğundan x = -8 veya x = 3 bulunur; x = 3 paydayı sıfırladığı için geçersizdir ve çözüm -8'dir. Tanım kümesi kontrol edilmeyip 3 (C şıkkı) işaretlenmesi tipik bir hatadır. Cevap A.
x + y = 8 ve x^2 + y^2 = 40 olduğuna göre x·y çarpımı kaçtır?
Doğru cevap: C — 12
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 özdeşliği kullanılır. 8^2 = 40 + 2xy → 64 - 40 = 2xy → 2xy = 24 olur. xy = 12 bulunur; gerçekten x ve y sayıları 2 ile 6'dır. Son adımdaki 2'ye bölme unutulup 24 (E şıkkı) işaretlenmesi tipik bir hatadır. Cevap C.
x - √(x + 5) = 1 denkleminin çözümü kaçtır?
Doğru cevap: E — 4
Kök terimi yalnız bırakılır: √(x + 5) = x - 1. Her iki tarafın karesi alınır: x + 5 = x^2 - 2x + 1 → x^2 - 3x - 4 = 0 → (x - 4)(x + 1) = 0. x = 4 veya x = -1 bulunur; x = -1 için sağ taraf -2 olacağından bu değer yabancı köktür. Sağlamada 4 - √9 = 4 - 3 = 1 olduğu görülür. Sağlama yapılmayıp -1 (A şıkkı) işaretlenmesi sık yapılan bir hatadır. Cevap E.
x^2 - (k - 1)x + 9 = 0 denkleminin birbirine eşit iki kökü olmasını sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 2
Çakışık kök koşulu Δ = 0'dır: (k - 1)^2 - 4·1·9 = 0. (k - 1)^2 = 36 → k - 1 = 6 veya k - 1 = -6 yazılır. k = 7 ve k = -5 bulunur; toplamları 2'dir. Karekök alınırken yalnızca pozitif değer düşünülüp 7 (E şıkkı) tek başına cevap sanılması tipik bir hatadır. Cevap D.
(m − 2)x² − 4x + 3 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde kökü olmadığına göre, m'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: E — 4
Denklemin gerçek kökü olmaması isteniyorsa önce ifadenin ikinci dereceden kalması gerekir: m = 2 alınırsa denklem −4x + 3 = 0 biçimine iner ve x = 3/4 gerçek kökü bulunur, bu yüzden m = 2 elenir. m ≠ 2 için diskriminant negatif olmalıdır: Δ = (−4)² − 4·(m − 2)·3 = 16 − 12m + 24 = 40 − 12m ve 40 − 12m < 0 koşulundan m > 10/3 elde edilir. Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı 4'tür. D seçeneğindeki 3, 10/3 sınırının aşağı yuvarlanmasından doğar; m = 3 için Δ = 4 > 0 olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır. C seçeneğindeki 2 ise baş katsayıyı sıfırlayan değerin kök vermeyeceği sanılmasından kaynaklanır. Cevap E.
