Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 123 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
-1 < 2x - 5 < 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 3
Her üç tarafa 5 eklenir: 4 < 2x < 12. Sonra 2'ye bölünür: 2 < x < 6. Bu aralıktaki tam sayılar 3, 4, 5 olmak üzere 3 tanedir. Uçlar kapalı sanılıp 2 ve 6 da sayılırsa 5 bulunur ve D seçeneği işaretlenir.
x^2 < 25 ve x ≥ -1 koşullarını birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: D — 6
x^2 < 25 eşitsizliği -5 < x < 5 demektir. x ≥ -1 koşuluyla kesiştirilince -1 ≤ x < 5 elde edilir. Buradaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 6 tanedir. İkinci koşul göz ardı edilip yalnızca -5 < x < 5 sayılırsa 9 bulunur ve E seçeneği işaretlenir.
3 < x < 8 ve 1 < y < 4 olduğuna göre, x/y bölümünün alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Doğru cevap: A — 7
Bölüm en küçük değerine x en küçük, y en büyük iken yaklaşır: 3/4. En büyük değerine ise x en büyük, y en küçük iken yaklaşır: 8/1 = 8. Yani x/y ifadesi (3/4, 8) aralığındadır. Bu aralıktaki tam sayılar 1'den 7'ye kadar 7 tanedir. Sağ uç açık olduğu hâlde 8 de sayılırsa B seçeneği işaretlenir.
a < 0 < b olduğuna göre, (a - b)/(a · b) ifadesinin işareti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — Pozitif
a < 0 ve b > 0 olduğundan a - b farkı negatif, a · b çarpımı da negatiftir. Negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü pozitif olduğundan ifade her zaman pozitiftir. Örneğin a = -2, b = 3 için (-2 - 3)/(-2 · 3) = -5/-6 = 5/6 > 0 bulunur. Yalnızca payın işaretine bakılıp payda unutulursa B seçeneği, a ile b'nin büyüklükleri sonuca etki ediyor sanılırsa D seçeneği işaretlenir.
-3 ≤ x ≤ 5 olduğuna göre, (x - 1)^2 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — 16
(x - 1)^2 ifadesi, x - 1 farkının mutlak değerce en büyük olduğu yerde en büyüktür. x = -3 için x - 1 = -4, x = 5 için x - 1 = 4 olur; her ikisinde de kare 16'dır. Buna göre en büyük değer 16'dır. Kare almak unutulup 4 denirse A seçeneği, ifade x^2 - 1 sanılıp 25 - 1 = 24 hesaplanırsa E seçeneği bulunur.
4x - 1 < 2x + 7 ≤ 5x + 4 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [1, 4)
Eşitsizlik ikiye ayrılır. Soldan: 4x - 1 < 2x + 7 → 2x < 8 → x < 4. Sağdan: 2x + 7 ≤ 5x + 4 → 3 ≤ 3x → x ≥ 1. Kesişim [1, 4) aralığıdır. Sağdaki eşitlik yok sayılırsa A seçeneği, yalnızca sol eşitsizlik çözülüp diğeri unutulursa C seçeneği işaretlenir.
-5 < a < -2 ve 1 < b < 4 olduğuna göre, a/b bölümünün alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Doğru cevap: B — 4
a negatif, b pozitif olduğundan bölüm negatiftir. En küçük değere a en küçük, b en küçük iken yaklaşılır: -5/1 = -5. Sıfıra en yakın değere ise a en büyük, b en büyük iken yaklaşılır: -2/4 = -1/2. Yani a/b ifadesi (-5, -1/2) aralığındadır. Buradaki tam sayılar -4, -3, -2, -1 olmak üzere 4 tanedir. Sol uç açık olduğu hâlde -5 de sayılırsa C seçeneği işaretlenir.
x^2 - 4x ≥ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (-∞, 0] ∪ [4, ∞)
x^2 - 4x = x(x - 4) çarpanlarına ayrılır; kökler 0 ve 4'tür. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitif, kökler arasında negatiftir. '≥' istendiğinden kökler de çözüme dâhildir: (-∞, 0] ∪ [4, ∞). İşaret tablosu ters okunursa A seçeneği, kökler dışlanırsa C seçeneği bulunur.
(x - 2)^2 · (x + 1) · (x - 5) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: C — 7
Kökler -1, 2 (çift katlı) ve 5'tir. (x - 2)^2 çarpanı çift katlı olduğundan x = 2'de işaret değişmez. İşaret tablosuna göre ifade x < -1 ve x > 5 için pozitif, -1 < x < 5 için negatiftir. '≤' istendiğinden çözüm [-1, 5] olur ve buradaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 7 tanedir. x = 2 kökü çözüm dışı bırakılırsa B seçeneği işaretlenir; oysa x = 2 ifadeyi sıfır yaptığı için çözümdür.
(x^2 - 1)/(x - 3) < 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (-∞, -1) ∪ (1, 3)
Pay x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) biçiminde çarpanlarına ayrılır; kökler -1, 1 ve paydanın kökü 3'tür. İşaret tablosunda ifade x < -1 için negatif, -1 < x < 1 için pozitif, 1 < x < 3 için negatif, x > 3 için pozitiftir. Kesin eşitsizlik olduğundan hiçbir kök alınmaz: (-∞, -1) ∪ (1, 3). İşaret satırı ters okunursa A seçeneği, payın kökleri çözüme katılırsa B seçeneği bulunur.
2 < x < 5 ve -3 < y < -1 olduğuna göre, x^2 - y^2 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 23
2 < x < 5 iken 4 < x^2 < 25; -3 < y < -1 iken 1 < y^2 < 9 olur. Buradan -9 < -y^2 < -1 yazılır ve taraf tarafa toplanınca -5 < x^2 - y^2 < 24 bulunur. Sağ uç açık olduğundan en büyük tam sayı 23'tür. Uçlar kapalı sanılıp 25 - 1 = 24 alınırsa E seçeneği, y^2 için en küçük değer yerine en büyük değer kullanılıp 25 - 9 = 16 yazılırsa A seçeneği işaretlenir.
1/(x - 2) > 1 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (2, 3)
Eşitsizlikte içler dışlar çarpımı yapılamaz; çünkü x - 2 ifadesinin işareti bilinmemektedir. Bunun yerine 1/(x - 2) - 1 > 0 yazılır ve pay eşitlenir: (1 - x + 2)/(x - 2) > 0, yani (3 - x)/(x - 2) > 0. Kökler 2 ve 3'tür; işaret tablosuna göre bu bölüm yalnızca 2 < x < 3 aralığında pozitiftir. Doğrudan çapraz çarpım yapılıp 1 > x - 2, yani x < 3 denirse ve payda koşulu unutulursa yanlış aralıklar elde edilir; D ve A seçenekleri bu hatalardan doğar.
x^2 - 6x + 8 ≤ 0 ve x^2 - 9 > 0 eşitsizliklerini birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 1
Birinci eşitsizlik (x - 2)(x - 4) ≤ 0 biçimindedir ve 2 ≤ x ≤ 4 verir. İkincisi (x - 3)(x + 3) > 0 biçimindedir ve x < -3 ya da x > 3 verir. Kesişim 3 < x ≤ 4 aralığıdır; buradaki tek tam sayı 4 olduğundan cevap 1'dir. İkinci eşitsizlikte eşitlik varmış gibi düşünülüp x = 3 de sayılırsa B seçeneği işaretlenir.
-2 ≤ x ≤ 3 ve 1 ≤ y ≤ 4 olduğuna göre, x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 26
x^2 en büyük değerini mutlak değerce en büyük x olan 3 için alır: 9. y^2 en büyük değerini y = 4 için alır: 16. Buna göre en büyük değer 9 + 16 = 25'tir. x^2 en küçük değerini x = 0 için 0 yapar (0 sayısı aralıkta bulunur), y^2 ise y = 1 için 1 olur; en küçük değer 0 + 1 = 1'dir. Toplam 25 + 1 = 26 bulunur. x = 0'ın aralıkta olduğu fark edilmeyip x^2'nin en küçüğü (-2)^2 = 4 sanılırsa toplam 25 + 5 = 30 çıkar ve C seçeneği işaretlenir.
(x + 1)(2 - x)(x + 4) > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (-∞, -4) ∪ (-1, 2)
Kökler -4, -1 ve 2'dir. (2 - x) çarpanının x katsayısı negatif olduğundan çarpımın baş katsayısı da negatiftir; bu nedenle en sağdaki aralıkta ifade negatif başlar ve köklerden geçtikçe işaret değişir. İşaret sırası soldan sağa +, -, +, - biçimindedir; ifade x < -4 ve -1 < x < 2 için pozitiftir. Eşitsizlik kesin olduğundan kökler çözüme alınmaz ve çözüm (-∞, -4) ∪ (-1, 2) olur. (2 - x) çarpanını (x - 2) gibi alıp işaret tablosunu ters okuyan öğrenci (-4, -1) ∪ (2, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap C.
