Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 123 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay5 orta4 zor
3x + 2 ≤ 5x - 6 < 3x + 10 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 4
Eşitsizlik ikiye ayrılır. Soldaki: 3x + 2 ≤ 5x - 6 → 8 ≤ 2x → x ≥ 4. Sağdaki: 5x - 6 < 3x + 10 → 2x < 16 → x < 8. Ortak çözüm 4 ≤ x < 8 olup buradaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 olmak üzere 4 tanedir. Sağ taraftaki '<' işaretini '≤' sanıp 8'i de sayan öğrenci 5 bulur. Cevap B.
x^2 - 7x + 10 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 14
İfade çarpanlarına ayrılır: (x - 2)(x - 5) ≤ 0. Kökler 2 ve 5'tir. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler arasında negatif, köklerde sıfırdır: 2 ≤ x ≤ 5. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4, 5 olup toplamları 14'tür. Eşitsizliği kesin sanıp kökleri dışarıda bırakan öğrenci yalnızca 3 ile 4'ü toplar ve 7 bulur. Cevap C.
1 < a < 4 ve -2 < b < 3 olduğuna göre, a - b farkının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Doğru cevap: D — 7
Fark için ikinci eşitsizlik ters çevrilir: -2 < b < 3 ise -3 < -b < 2. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır: 1 - 3 < a - b < 4 + 2, yani -2 < a - b < 6. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 7 tanedir. Uç değerleri de sayan öğrenci -2 ile 6'yı ekleyip 9 bulur. Cevap D.
-1 < 3 - x ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [-2, 4)
Her taraftan 3 çıkarılır: -4 < -x ≤ 2. Her taraf -1 ile çarpılır ve eşitsizliklerin yönü değişir: 4 > x ≥ -2. Bu ifade -2 ≤ x < 4, yani [-2, 4) aralığıdır. Yön değiştirmeyi unutan öğrenci -4 < x ≤ 2 yazıp (-4, 2] seçeneğini işaretler. Cevap E.
3(x + 2) ≥ 2x - 1 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — [-7, ∞)
Parantez açılır: 3x + 6 ≥ 2x - 1. Bilinmeyenler solda, sabitler sağda toplanır: 3x - 2x ≥ -1 - 6, yani x ≥ -7. Pozitif katsayıyla işlem yapıldığından yön değişmez ve çözüm kümesi [-7, ∞) olur. 3(x + 2) çarpımını 3x + 2 diye açan öğrenci x ≥ -3 bulur. Cevap B.
-2x + 7 < 3x - 8 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: D — 4
Bilinmeyenler bir tarafta toplanır: 7 + 8 < 3x + 2x, yani 15 < 5x. Her iki taraf pozitif 5'e bölünür ve yön korunur: 3 < x. x kesin olarak 3'ten büyük olduğundan en küçük tam sayı değeri 4'tür. Eşitsizliği '≤' gibi okuyup sınırı da çözüme katan öğrenci 3 der. Cevap D.
3 < a + b < 9 ve 1 < a - b < 5 olduğuna göre, a'nın alabileceği değerlerin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (2, 7)
Aynı yönlü iki eşitsizlik taraf tarafa toplanır: (a + b) + (a - b) toplamı 3 + 1 ile 9 + 5 arasındadır, yani 4 < 2a < 14. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: 2 < a < 7. Bölme adımını atlayıp 2a için bulunan (4, 14) aralığını doğrudan a için yazan öğrenci hata yapar. Cevap E.
a > b ve b > c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Doğru cevap: A — b - a > 0
a > b eşitsizliği a - b > 0 demektir; buradan b - a < 0 olur, yani b - a > 0 ifadesi yanlıştır. b > c olduğundan b - c > 0'dır. Ayrıca a > b ve b > c eşitsizlikleri birleştirilerek a > c, yani a - c > 0 elde edilir. Eşitsizlikte terimlerin yerini değiştirirken yönün de değişmesi gerektiğini gözden kaçıran öğrenci b - a > 0 ifadesini doğru sanar. Cevap A.
a ve b gerçel sayılar olmak üzere a < b'dir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Doğru cevap: A — a + 5 < b + 5
Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenir ya da iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa yön değişmez; bu nedenle a < b iken a + 5 < b + 5 her zaman doğrudur. Aynı gerekçeyle a - 3 < b - 3 olur; bu yüzden B seçeneğindeki a - 3 > b - 3 ifadesi yanlıştır. Negatif bir sayıyla çarpma ya da bölmede yön değişeceğinden -a > -b ve a/(-4) > b/(-4) olur. Pozitif 2 ile çarpmada yön korunduğu için 2a < 2b'dir; yönün her çarpmada değiştiğini sanan öğrenci 2a > 2b ifadesini seçer. Cevap A.
2 < x < 6 olduğuna göre, 1/x ifadesinin alabileceği değerlerin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (1/6, 1/2)
x pozitif ve artan iken 1/x azalır; bu nedenle sınırlar yer değiştirir. x = 2 için 1/x = 1/2 ve x = 6 için 1/x = 1/6 olur. Uç değerler alınamadığından 1/6 < 1/x < 1/2, yani (1/6, 1/2) aralığı bulunur. Ters çevirmenin sıralamayı değiştirmediğini sanan öğrenci aralığı (2, 6) gibi bırakır. Cevap C.
x^3 - 4x ≥ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [-2, 0] ∪ [2, ∞)
İfade çarpanlarına ayrılır: x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2). Kökler -2, 0 ve 2'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan en sağdaki aralıkta ifade pozitiftir ve her kökte işaret değişir: soldan sağa -, +, -, +. İfade -2 ≤ x ≤ 0 ve x ≥ 2 için sıfırdan büyük ya da sıfıra eşittir. İşaret tablosunu ters okuyup ifadenin negatif olduğu aralıkları yazan öğrenci (-∞, -2] ∪ [0, 2] seçeneğini işaretler. Cevap E.
1 - x ≥ 2x + 7 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — -2
Bilinmeyenler sağda, sabitler solda toplanır: 1 - 7 ≥ 2x + x, yani -6 ≥ 3x. Her iki taraf pozitif 3'e bölünür: -2 ≥ x, yani x ≤ -2. Buna göre en büyük tam sayı değeri -2'dir. Sabitleri toplarken işaret değiştirmeyip 1 + 7 = 8 yazan öğrenci 8 ≥ 3x'ten x ≤ 8/3 bulur ve en büyük tam sayıyı 2 sanır. Cevap A.
(x - 1)^3 · (x + 2)^2 · (x - 4) < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 2
Kökler -2 (çift katlı), 1 (tek katlı) ve 4'tür (tek katlı). Çift katlı kökte işaret değişmez. En sağdaki aralıkta ifade pozitiftir; x = 4 ve x = 1 köklerinde işaret değişir, x = -2'de değişmez. Buna göre ifade yalnızca 1 < x < 4 aralığında negatiftir ve buradaki tam sayılar 2 ile 3 olmak üzere 2 tanedir. Çift katlı kök olan -2'yi de çözüme katan öğrenci -2, 2 ve 3 olmak üzere 3 tam sayı sayıp B'yi işaretler; oysa x = -2 için çarpım sıfır olur ve kesin eşitsizlik sağlanmaz. Cevap A.
-2 < x < 1 ve 3 < y < 5 olduğuna göre, (x - y)/2 ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — -5
Fark için ikinci eşitsizlik ters çevrilir: 3 < y < 5 ise -5 < -y < -3. Taraf tarafa toplanır: -2 - 5 < x - y < 1 - 3, yani -7 < x - y < -2. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: -3,5 < (x - y)/2 < -1. Bu aralıktaki tam sayılar -3 ve -2 olup toplamları -5'tir. Üst sınırdaki -1 değerini de çözüme katan öğrenci -6 bulur; sınır değerler aralığa dâhil değildir. Cevap B.
2 < a < 5 ve -4 < b < -1 olduğuna göre, a^2 - b ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Doğru cevap: A — 28
a pozitif ve 2 < a < 5 olduğundan 4 < a^2 < 25'tir. -4 < b < -1 eşitsizliği ters çevrilir: 1 < -b < 4. Taraf tarafa toplanır: 5 < a^2 - b < 29. Üst sınır dışarıda kaldığından en büyük tam sayı değeri 28'dir. Uç değerleri de alınabilir sanıp 25 + 4 = 29 diyen öğrenci hata yapar. Cevap A.
