Basit Eşitsizlikler — Test 7

Doğru cevap: B — (-∞, -5]

Bilinmeyenler solda, sabitler sağda toplanır: 3x - x ≤ -6 - 4, yani 2x ≤ -10. Her iki taraf pozitif 2'ye bölünür ve yön korunur: x ≤ -5. Eşitsizlik '≤' olduğu için x = -5 değeri de çözüme dâhildir; bu nedenle uç nokta köşeli parantezle alınır ve çözüm kümesi (-∞, -5] olur. Eşitliğin de sağlandığını gözden kaçırıp uç noktayı dışarıda bırakan öğrenci (-∞, -5) yazan A şıkkını işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: D — 20

Eşitsizlikler ayrı ayrı genişletilir: -2 < x < 3 ise -4 < 2x < 6; 1 < y < 5 ise 3 < 3y < 15. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır: -1 < 2x + 3y < 21. Üst sınır dışarıda kaldığından en büyük tam sayı değeri 20'dir. Uç değerleri de alınabilir sanıp 2·3 + 3·5 = 21 diyen öğrenci hata yapar; x ve y sınır değerlerini alamaz. Cevap D.

Doğru cevap: E — (-∞, 3)

Pay 1 pozitif olduğundan bölümün negatif olması için paydanın negatif olması gerekir: x - 3 < 0. Buradan x < 3 bulunur; x = 3 değeri ifadeyi tanımsız yaptığından çözüme alınmaz. Çözüm kümesi (-∞, 3) aralığıdır. İşareti ters düşünüp paydanın pozitif olması gerektiğini sanan öğrenci x > 3 bulur ve (3, ∞) yazan A şıkkını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: A — (-∞, -1) ∪ (3, ∞)

Payın kökü 3, paydanın kökü -1'dir. İşaret tablosunda ifade x < -1 ve x > 3 için pozitiftir. Eşitsizlik kesin olduğundan 3 çözüme alınmaz; -1 ise paydayı sıfır yaptığından hiçbir durumda çözüme alınamaz. Çözüm kümesi (-∞, -1) ∪ (3, ∞) olur. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci (-1, 3) seçeneğini işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: A — x^2 > y^2

x < y < 0 olduğundan her iki sayı da negatiftir ve x'in mutlak değeri y'ninkinden büyüktür. Kare alındığında işaret pozitife döner ve mutlak değeri büyük olanın karesi büyük olur: x^2 > y^2. İki negatif sayının toplamı negatif, çarpımı ise pozitiftir; ayrıca x < y olduğundan x - y < 0'dır. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olanın karesinin küçük kalacağını sanan öğrenci x^2 < y^2 ifadesini seçer. Cevap A.

Doğru cevap: D — a^2 < a < √a < 1/a

0 ile 1 arasındaki bir sayının karesi kendisinden küçük, karekökü ise kendisinden büyüktür: a^2 < a < √a. Ayrıca 0 < a < 1 iken 1/a > 1 olur ve √a < 1 olduğundan √a < 1/a'dır. Örneğin a = 1/4 için a^2 = 1/16 ; a = 0,25 ; √a = 0,5 ve 1/a = 4 sıralaması bu sonucu doğrular. Kare almanın sayıyı daima büyüttüğünü sanan öğrenci a < a^2 ile başlayan sıralamayı seçer. Cevap D.

Doğru cevap: D — 15

Her iki tarafa 1 eklenir: x/5 ≥ 3. Her iki taraf pozitif 5 ile çarpılır: x ≥ 15. Eşitlik de sağlandığından en küçük tam sayı değeri 15'tir. 1'i karşı tarafa geçirmeyi unutup x/5 ≥ 2'den x ≥ 10 bulan öğrenci hata yapar. Cevap D.

Doğru cevap: B — (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

Eşitsizlik x^2 - 4 ≥ 0, yani (x - 2)(x + 2) ≥ 0 biçiminde yazılır. Kökler -2 ve 2'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitif, kökler arasında negatiftir. Eşitlik de istendiğinden çözüm (-∞, -2] ∪ [2, ∞) olur. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci [-2, 2] seçeneğini işaretler. Ayrıca yalnızca x ≥ 2 durumunu görüp negatif kökü unutmak da yaygın bir hatadır. Cevap B.

Doğru cevap: C — 7

Aralıkta 5 değeri dâhil olduğundan en büyük tam sayı 5'tir. Alt sınırda '<' işareti bulunduğundan -3 aralığa dâhil değildir; en küçük tam sayı -2'dir. Fark: 5 - (-2) = 7. -3 değerini de aralığa dâhil eden öğrenci 5 - (-3) = 8 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: C — 16

Aralık sıfırı içerdiğinden x^2 en küçük değeri 0'dır. x, -4'e istediği kadar yaklaşabildiğinden x^2 değeri 16'ya yaklaşır ama 16'ya ulaşamaz: 0 ≤ x^2 < 16. Bu aralıktaki tam sayılar 0'dan 15'e kadar olan 16 sayıdır. Sıfırı saymayı unutan öğrenci 15 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: C — -9

Payın kökü -5, paydanın kökü 2'dir. Bölüm yalnızca bu iki kök arasında negatiftir: -5 < x < 2. Bu aralıktaki tam sayılar -4, -3, -2, -1, 0, 1'dir. Toplamları: (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9. Payın kökü olan -5'i de çözüme katan öğrenci -14 bulur; oysa x = -5 için ifade sıfırdır ve eşitsizlik kesindir. Cevap C.

Doğru cevap: A — 2

Eşitsizliğin her tarafına 4 eklenir: 10 ≤ 2x < 14. Her taraf pozitif 2'ye bölünür: 5 ≤ x < 7. Bu aralıktaki tam sayılar 5 ve 6 olmak üzere 2 tanedir. Üst sınırdaki '<' işaretini '≤' sanıp 7'yi de sayan öğrenci 3 bulur. Cevap A.

Doğru cevap: E — 1/a > 1/b

a ve b pozitif ve a < b olduğundan her iki tarafı pozitif olan ab çarpımına bölmek yönü değiştirmez: a/(ab) < b/(ab), yani 1/b < 1/a. Böylece 1/a > 1/b her zaman doğrudur. Pozitif sayılarda a < b iken a^2 < b^2 olur; a - b < 0 ve b/a > 1'dir; iki pozitif sayının toplamı da pozitiftir. Ters çevirmenin sıralamayı koruduğunu sanan öğrenci 1/a > 1/b yerine b/a < 1 gibi ifadeleri seçer. Cevap E.

Doğru cevap: D — 8

İfade sadeleştirilir: (x + y)/y = x/y + 1. x/y oranı en büyük değerini pay en büyük ve payda en küçük iken alır: 7/1 = 7. Buna göre en büyük değer 7 + 1 = 8'dir. Payda için 1, pay için ise x + y = 7 + 2 = 9 alan öğrenci 9 bulur; ifadedeki iki y aynı sayıyı göstermektedir. Cevap D.

Doğru cevap: E — 5

x arttıkça 12/x azalır; x = 2 için 12/x = 6 ve x = 6 için 12/x = 2 olur. x aradaki bütün gerçel değerleri alabildiğinden 12/x ifadesi [2, 6] aralığındaki her değeri alır. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4, 5, 6 olmak üzere 5 tanedir. Yalnızca 12/x bölümünün tam sayı olduğu x = 2, 3, 4, 6 değerlerini sayan öğrenci 4 der; oysa x tam sayı olmak zorunda değildir. Cevap E.