Mutlak Değer — Test 5

Doğru cevap: A — -2

|2a| = 10 eşitliğinden |a| = 5 ve buradan a = 5 ya da a = -5 bulunur. a < 0 koşulu verildiğinden a = -5 alınır. İstenen toplam: -5 + 3 = -2. a < 0 koşulunu gözden kaçırıp a = 5 alan öğrenci 8 bulur. |2a| = 10 eşitliğini |a| = 10 gibi okuyup a = 10 alan öğrenci ise 13 der. Cevap A.

Doğru cevap: A — 3

Birinci koşul: -3 < x - 2 < 3, yani -1 < x < 5. İkinci koşul: x + 1 < -2 veya x + 1 > 2, yani x < -3 veya x > 1. İki koşulun kesişimi 1 < x < 5 aralığıdır; buradaki tam sayılar 2, 3, 4 olmak üzere 3 tanedir. İkinci koşulu |x + 1| ≥ 2 gibi okuyup x = 1 değerini de sayan öğrenci 4 bulur; oysa x = 1 için |x + 1| = 2'dir ve eşitsizlik kesindir. Cevap A.

Doğru cevap: E — 28

|x| < 4 eşitsizliği -4 < x < 4 anlamına gelir; buradaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3'tür. Kareleri toplanır: 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28. Yalnızca negatif olmayan değerlerin karelerini toplayan öğrenci 0 + 1 + 4 + 9 = 14 bulur; negatif sayıların kareleri de pozitiftir ve toplama katılır. Cevap E.

Doğru cevap: B — 5

Her iki taraf pozitif 2'ye bölünür: |x| < 3. Bu eşitsizlik -3 < x < 3 anlamına gelir ve buradaki tam sayılar -2, -1, 0, 1, 2 olmak üzere 5 tanedir. Yalnızca 0 ve pozitif değerleri (0, 1, 2) sayıp negatif tarafı unutan öğrenci 3 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: B — (-∞, 2)

Eşitsizlik, x sayısının -1'e olan uzaklığının 5'e olan uzaklığından küçük olması demektir. İki noktanın orta noktası (-1 + 5)/2 = 2 olduğundan, bu koşulu 2'nin solundaki bütün sayılar sağlar: x < 2. Aynı sonuç iki tarafın karesi alınarak da bulunur: (x + 1)^2 < (x - 5)^2 → 12x < 24 → x < 2. Eşitsizliği ters okuyup 5'e daha yakın noktaları alan öğrenci (2, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: C — (-∞, -1]

Kritik noktalar -1 ve 3'tür. x ≤ -1 için x - 3 negatiftir, x + 1 ise pozitif değildir (x = -1'de sıfır olur); bu durumda (3 - x) - (-x - 1) = 4 olur ve eşitlik bütün bu değerlerde sağlanır. -1 < x < 3 için (3 - x) - (x + 1) = 2 - 2x = 4 denkleminden x = -1 çıkar; bu değer aralığın dışındadır. x ≥ 3 için (x - 3) - (x + 1) = -4 olur ve 4'e eşit olamaz. Çözüm kümesi (-∞, -1] aralığıdır. Yalnızca kritik noktayı kök sanan öğrenci B'deki {-1} kümesini işaretler; oysa sonsuz çoklukta çözüm vardır. Cevap C.

Doğru cevap: A — 2x - 6

0 < x olduğundan |x| = x'tir. x < 6 olduğundan x - 6 negatiftir ve |x - 6| = 6 - x olur. İfade yerine konur: x - (6 - x) = x - 6 + x = 2x - 6. Örneğin x = 1 için 1 - 5 = -4 ve 2·1 - 6 = -4 uyumludur. Çıkarma sırasını ters çevirip x - (6 - x) yerine (6 - x) - x işlemini yapan öğrenci B'deki 6 - 2x sonucunu bulur; parantezi açarken işareti dağıtmayı unutan öğrenci ise x - 6 - x = -6 diyerek C'yi işaretler. Cevap A.

Doğru cevap: A — 0

a negatif olduğundan |a| = -a'dır. İfade yerine konur: (-a) + a = 0. Örneğin a = -5 için |-5| + (-5) = 5 - 5 = 0 bulunur. Mutlak değeri olduğu gibi kaldırıp a + a = 2a yazan öğrenci hata yapar; negatif sayının mutlak değeri işaret değiştirir. Cevap A.

Doğru cevap: B — 5

|x - 3| ifadesi, x sayısının 3'e uzaklığıdır. Aralıkta 3 sayısı bulunduğundan en küçük değer x = 3 için 0'dır. En büyük uzaklık uç noktalarda aranır: |-2 - 3| = 5 ve |6 - 3| = 3; bunların büyüğü 5'tir. Toplam 5 + 0 = 5 olur. En küçük değeri de bir uç noktada arayıp 3 kabul eden öğrenci 5 + 3 = 8 bulur; oysa aralık 3 sayısını içerdiğinden uzaklık sıfır olabilir. Cevap B.

Doğru cevap: D — 27

Eşitsizlik -4 ≤ 3 - x ≤ 4 biçiminde yazılır. Her taraftan 3 çıkarılıp -1 ile çarpılırsa (yönler değişir) -1 ≤ x ≤ 7 bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar -1, 0, 1, ..., 7 olup toplamları -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27'dir. Negatif uç olan -1'i toplamaya katmayan öğrenci 28 bulur. Cevap D.

Doğru cevap: C — -2

Birinci durum: 2x - 1 = 5 - x → 3x = 6 → x = 2. Sağ taraf 5 - 2 = 3 ≥ 0 olduğundan kök geçerlidir. İkinci durum: 2x - 1 = -(5 - x) → 2x - 1 = x - 5 → x = -4. Sağ taraf 5 - (-4) = 9 ≥ 0 olduğundan bu kök de geçerlidir. Köklerin toplamı: 2 + (-4) = -2. Yalnızca birinci durumu çözüp negatif hâli incelemeyen öğrenci 2 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: E — (-5, 5)

Dıştaki mutlak değer çözülür: -3 < |x| - 2 < 3, yani -1 < |x| < 5. Mutlak değer zaten daima sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olduğundan -1 < |x| koşulu bir kısıt getirmez. Geriye |x| < 5, yani -5 < x < 5 kalır. -1 < |x| koşulunu da sınırlayıcı sanıp |x| > 1 gibi yorumlayan öğrenci (-5, -1) ∪ (1, 5) seçeneğini işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: E — (-1, 6)

Eşitsizlik -7 < 5 - 2x < 7 biçiminde yazılır. Her taraftan 5 çıkarılır: -12 < -2x < 2. Her taraf negatif olan -2'ye bölündüğünden yönler değişir: 6 > x > -1, yani -1 < x < 6. Baştaki -2x ifadesinin işaretini gözden kaçırıp -12 < 2x < 2 biçiminde işlem yapan öğrenci -6 < x < 1 bulur ve A seçeneğindeki (-6, 1) aralığını işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: D — 13

|x| değerine göre durumlar incelenir. |x| = 0 ise |y| ≤ 2 olur ve y için 5 seçenek vardır. |x| = 1 ise (x = 1 veya x = -1) |y| ≤ 1 olur ve y için 3 seçenek bulunur: 2 · 3 = 6 ikili. |x| = 2 ise (x = 2 veya x = -2) yalnızca y = 0 olabilir: 2 ikili. Toplam: 5 + 6 + 2 = 13. Koşulu |x| ≤ 2 ve |y| ≤ 2 gibi ayrı ayrı düşünen öğrenci 5 · 5 = 25 ikili sayar; oysa toplamın 2'yi aşmaması gerekir. Cevap D.

Doğru cevap: E — x - 3

x > 5 olduğundan 5 - x farkı negatiftir ve mutlak değer işaret değiştirir: |5 - x| = x - 5. İfade yerine konur: (x - 5) + 2 = x - 3. Örneğin x = 6 için |5 - 6| + 2 = 3 ve 6 - 3 = 3 uyumludur. Mutlak değer içini olduğu gibi bırakan öğrenci (5 - x) + 2 = 7 - x bulur. Cevap E.