Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Temel Kavramlar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 128 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
5 kolay8 orta2 zor
Ardışık beş tek sayının toplamı 135 olduğuna göre bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Doğru cevap: E — 31
Ortadaki sayı x olsun; sayılar x−4, x−2, x, x+2, x+4 biçimindedir. Toplam 5x = 135 → x = 27 bulunur; sayılar 23, 25, 27, 29, 31'dir. En büyüğü 31'dir. Toplam beşe bölünerek bulunan 27 değeri doğrudan işaretlenirse hata yapılır; 27 ortadaki sayıdır. Cevap: 31.
n bir tam sayı olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi daima bir çift sayı belirtir?
Doğru cevap: C — n^2 + n
n^2 + n = n·(n + 1) biçiminde yazılır; ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift olduğundan bu çarpım daima çifttir. Diğerleri: 2n + 1 daima tektir; n^2 − n + 1 = n·(n−1) + 1 olduğundan daima tektir; n^2 + 1 ve 3n ise n'in tekliğine göre değişir. "3n" şıkkı, n çift alınarak denendiğinde çift çıktığı için doğru sanılır; oysa n = 1 için 3n = 3 tektir. Cevap: n^2 + n.
a ve b tam sayıları için a·b çarpımı tektir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir?
Doğru cevap: E — a + b
Bir çarpımın tek olması için çarpanların ikisi de tek olmalıdır; yani a ve b tektir. Tek + tek = çift olduğundan a + b daima çifttir. Diğerleri: a·b + 2 = tek + çift = tek; a + 2b = tek + çift = tek; a^2·b = tek·tek = tek; 3a + 2 = tek + çift = tek. "a·b + 2" şıkkı, çift bir sayı eklenince sonucun çift olacağı yanılgısından seçilir. Cevap: a + b.
7 ile 33 arasındaki (7 dâhil, 33 hariç) tüm tam sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 507
Toplanacak sayılar 7'den 32'ye kadar olan tam sayılardır; terim sayısı 32 − 7 + 1 = 26'dır. Toplam = (ilk + son)·terim sayısı / 2 = (7 + 32)·26/2 = 39·13 = 507. Uç noktalar yanlış alınırsa hata doğar: 8'den 32'ye toplam 500, 7'den 33'e toplam 540 olur. Cevap: 507.
[−7,2] + [7,2] işleminin sonucu kaçtır? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: A — −1
[−7,2] = −8'dir; çünkü −7,2'den büyük olmayan en büyük tam sayı −8'dir. [7,2] = 7'dir. Toplam: −8 + 7 = −1. İki sayının ondalık kısımları aynı olduğu için sonucun 0 olacağı düşünülürse hata yapılır; negatif tarafta tam değer aşağıya iner. Cevap: −1.
a, b ve c tam sayılarının toplamı çifttir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Doğru cevap: C — a, b ve c'den en az biri çifttir
Toplamın çift olması için tek sayıların adedi çift olmalıdır: ya hiç tek sayı yoktur ya da tam iki tane vardır. Her iki durumda da en az bir çift sayı bulunur (0 tek varsa üçü de çift, 2 tek varsa biri çifttir). Üçünün de çift olması şart değildir (1 + 3 + 2 = 6); tam olarak ikisinin tek olması da şart değildir (2 + 4 + 6 = 12). a·b·c çarpımı, en az bir çift çarpan bulunduğu için tek olamaz; a + b toplamı ise c'nin çift olduğu durumlarda çifttir. "a, b ve c'den tam olarak ikisi tektir" şıkkı, yalnızca tek örneklerin denenmesinden doğan bir genellemedir. Cevap: a, b ve c'den en az biri çifttir.
n bir pozitif tam sayı olmak üzere n!/(n − 2)! = 90 olduğuna göre n kaçtır?
Doğru cevap: B — 10
n! = n·(n−1)·(n−2)! olduğundan n!/(n−2)! = n·(n−1)'dir. n·(n−1) = 90 → ardışık iki sayının çarpımı 90 ise bu sayılar 9 ve 10'dur. n = 10 bulunur. Çarpanlardan küçüğü olan 9 doğrudan cevap sanılırsa hata yapılır; 9 sayısı n−1'e karşılık gelir. Cevap: 10.
Ardışık üç pozitif tam sayının karelerinin toplamı 110 olduğuna göre bu sayıların toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 18
Sayılar x−1, x, x+1 olsun: (x−1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 3x^2 + 2 = 110 → 3x^2 = 108 → x^2 = 36 → x = 6. Sayılar 5, 6, 7'dir; toplamları 5 + 6 + 7 = 18'dir. Sayılar 6, 7, 8 sanılırsa toplam 21 bulunur; oysa bu sayıların kareleri toplamı 149'dur. Cevap: 18.
[√200] + [√35] işleminin sonucu kaçtır? ([x] gösterimi, x'ten büyük olmayan en büyük tam sayıyı belirtir.)
Doğru cevap: D — 19
14^2 = 196 < 200 < 225 = 15^2 olduğundan [√200] = 14'tür. 5^2 = 25 < 35 < 36 = 6^2 olduğundan [√35] = 5'tir. Toplam: 14 + 5 = 19. √35 ≈ 5,9 değeri en yakın tam sayıya yuvarlanıp 6 alınırsa yanlış olarak 20 bulunur. Cevap: 19.
İki basamaklı kaç tane asal sayı vardır?
Doğru cevap: D — 21
İki basamaklı asallar 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 sayılarıdır. Bunlar sayıldığında 21 tane oldukları görülür. 91 = 7·13 sayısı asal sanılıp listeye eklenirse yanlış olarak 22 bulunur. Cevap: 21.
a ve b tam sayıları için −6 ≤ a ≤ 3 ve 2 ≤ b ≤ 7 veriliyor. Buna göre a − b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: A — −13
a − b farkının en küçük olması için a en küçük, b en büyük seçilmelidir. a = −6 ve b = 7 alınır: a − b = −6 − 7 = −13. b için de en küçük değer alınarak −6 − 2 = −8 hesaplanırsa hata yapılır; çıkarma işleminde sonucu küçültmek için çıkanın büyük seçilmesi gerekir. Cevap: −13.
Ardışık n tane pozitif tam sayının toplamı 100'dür. Buna göre n'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Doğru cevap: A — 8
İlk terim a olsun: n·(2a + n − 1)/2 = 100, yani n·(2a + n − 1) = 200 olmalıdır. n = 8 için 8·(2a + 7) = 200 → 2a + 7 = 25 → a = 9; gerçekten 9 + 10 + ... + 16 = 100'dür. n = 16 için 16·(2a + 15) = 200 sağlanmaz; n = 25 için 25·(2a + 24) = 200 → 2a + 24 = 8 → a = −8 çıkar ki bu pozitif değildir. n = 25 şıkkı, 200'ün bir böleni olduğu için pozitiflik koşulu denetlenmeden seçilen tipik çeldiricidir. Cevap: 8.
a ve b gerçek sayıları için a > 0, b < 0 ve a + b > 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle negatiftir?
Doğru cevap: D — a·b
a > 0 ve b < 0 olduğundan a·b = pozitif·negatif < 0'dır; yani a·b daima negatiftir. a + b > 0 verilmiştir; a − b = pozitif − negatif > 0 ve a − 2b = pozitif + pozitif > 0'dır. a + 2b = (a + b) + b ifadesinde (a + b) pozitif, b negatif olduğundan işaret belirsizdir; bu şık "b iki kez eklenince mutlaka negatif olur" yanılgısından seçilir. Cevap: a·b.
n bir pozitif tam sayı olmak üzere n! sayısının sonunda tam olarak 3 tane sıfır bulunmaktadır. Buna göre n'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Doğru cevap: B — 5
n! sonundaki sıfır sayısı [n/5] + [n/25] + ... ile bulunur. n = 14 için 2, n = 15 için 3 sıfır vardır; sıfır sayısı 15, 16, 17, 18, 19 için 3 olarak kalır. n = 20 olduğunda [20/5] = 4 olur ve sıfır sayısı 4'e çıkar. Öyleyse uygun değerler 15, 16, 17, 18, 19 olmak üzere 5 tanedir. 15 sayısı listeye alınmayıp yalnızca 16, 17, 18, 19 sayılırsa yanlış olarak 4 bulunur. Cevap: 5.
10!/(9! + 8!) işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A — 9
Pay 10! = 10·9·8! = 90·8! biçiminde, payda 9! + 8! = 9·8! + 8! = 10·8! biçiminde yazılır. Bölüm: 90·8!/(10·8!) = 9. Paydadaki toplama gözden kaçırılıp yalnızca 10!/9! hesaplanırsa yanlış olarak 10 bulunur. Cevap: 9.
