Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Köklü Sayılar konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
0 kolay9 orta6 zor
a = 3√3, b = 2√7 ve c = √26 sayıları için doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — c < a < b
Üç sayı da pozitif olduğundan kareleri karşılaştırılabilir. a^2 = 9 · 3 = 27, b^2 = 4 · 7 = 28 ve c^2 = 26'dır. 26 < 27 < 28 olduğundan c < a < b bulunur. A (a < b < c), kök içindeki sayıları (3 < 7 < 26) karşılaştırıp √26'yı en büyük sananların hatasıdır. Cevap C.
(√8 + √18) / √2 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: A — 5
Payı sadeleştirelim: √8 = 2√2 ve √18 = 3√2, toplamları 5√2 olur. 5√2 / √2 = 5 bulunur. D (13), payı √8 + √18 = √26 sanıp bölme sonucunda √13 yerine 13 yazanların sonucudur. Cevap A.
√45/√5 + √32/√2 işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 7
Aynı dereceli köklerde bölme tek kök altında yapılır: √45/√5 = √9 = 3. Aynı biçimde √32/√2 = √16 = 4 olur. 3 + 4 = 7 bulunur. E (13), √45/√5 = √9 adımında kökü almayı unutup 9 yazan ve ardından 9 + 4 = 13 diyenlerin sonucudur. Cevap C.
a = √3 + 1 olduğuna göre a^2 - 2a ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
a^2 = (√3 + 1)^2 = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3. 2a = 2√3 + 2 olduğundan a^2 - 2a = (4 + 2√3) - (2 + 2√3) = 2. E (4), a^2 açılımında orta terimi hesaba katmayıp 3 + 1 = 4 bulan ve 2a'yı çıkarmayanların sonucudur. Cevap C.
√(11 - 2√30) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — √6 - √5
Toplamı 11, çarpımı 30 olan sayılar 5 ve 6'dır. 11 - 2√30 = (√6 - √5)^2 olduğundan kökü √6 - √5'tir. E (√6 + √5), tam kareyi doğru kurup ortadaki işaretin eksi olduğunu gözden kaçıranların sonucudur. Cevap A.
x + 1/x = √5 olduğuna göre x^2 + 1/x^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 3
Eşitliğin karesi alınır: (x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2. Sol taraf (√5)^2 = 5 olduğundan x^2 + 1/x^2 = 5 - 2 = 3 bulunur. D (5), kareyi aldıktan sonra ortadaki 2 terimini çıkarmayı unutanların sonucudur. Cevap B.
a = √2 + √7, b = √3 + √6 ve c = 2 + √5 sayıları için doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — a < b < c
Üç sayının da karesi 9 + 2√k biçimindedir: a^2 = 9 + 2√14, b^2 = 9 + 2√18, c^2 = 9 + 4√5 = 9 + 2√20. Karşılaştırma kök içlerine iner: 14 < 18 < 20. Buna göre a < b < c bulunur. C (c < b < a), c'deki 2 sayısını kök dışında kaldığı için küçük sanıp c'yi en küçük kabul edenlerin hatasıdır. Cevap A.
√(x - 3) = x - 5 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 7
Her iki tarafın karesi alınır: x - 3 = x^2 - 10x + 25. x^2 - 11x + 28 = 0 → (x - 4)(x - 7) = 0 → x = 4 veya x = 7. Sağ taraf negatif olamayacağından x ≥ 5 olmalıdır; x = 4 yabancı köktür, x = 7 alınır. A (4), sağlama yapmadığı için yabancı kökü eleyemeyenlerin seçtiği değerdir. Cevap C.
√(4 + 2√3) - √(4 - 2√3) işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: E — 2
Toplamı 4, çarpımı 3 olan sayılar 1 ve 3'tür: 4 + 2√3 = (1 + √3)^2 ve 4 - 2√3 = (√3 - 1)^2. Kökler pozitif alınır: (1 + √3) - (√3 - 1) = 2. B (0), iki kökü birbirine eşit sanıp farkı sıfır kabul edenlerin sonucudur. Cevap E.
√x + √(x + 5) = 5 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 4
Denklem √(x + 5) = 5 - √x biçimine getirilip karesi alınır. x + 5 = 25 - 10√x + x → 10√x = 20 → √x = 2 → x = 4. Sağlama: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 olduğundan kök uygundur. E (16), (5 - √x)^2 açılımında ortadaki terimi 10√x yerine 5√x yazanların hatasıdır; bu durumda 5√x = 20 → √x = 4 → x = 16 bulunur. Cevap C.
a = √2 olduğuna göre a^3 + 2a ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — 4√2
a^3 = (√2)^3 = 2√2 olur. 2a = 2√2 olduğundan toplam 2√2 + 2√2 = 4√2 bulunur. A (2√2), yalnızca a^3 terimini hesaplayıp 2a terimini eklemeyenlerin sonucudur. Cevap C.
Bir karenin alanı 50 cm^2 olduğuna göre çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 20√2
Karenin bir kenarı a ise a^2 = 50 → a = √50 = 5√2 cm olur. Çevre 4a olduğundan 4 · 5√2 = 20√2 cm bulunur. B (10√2), çevreyi 4 kenar yerine 2 kenar olarak hesaplayanların sonucudur. A (5√2) ise kenar uzunluğunu yanıt olarak yazanların hatasıdır. Cevap D.
√48/√3 + ³√(-8) işleminin sonucu kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
Kökler tek kök altında bölünür: √(48/3) = √16 = 4. Tek dereceli kökte negatif sayının kökü negatiftir: ³√(-8) = -2. 4 + (-2) = 2 bulunur. E (6), ³√(-8) değerini +2 alan, yani tek dereceli kökte işaretin korunduğunu unutanların sonucudur. Cevap C.
(√2 + √3 + √5) · (√2 + √3 - √5) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — 2√6
İfade (√2 + √3)^2 - (√5)^2 biçiminde iki kare farkı olarak yazılır. (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 ve (√5)^2 = 5'tir. 5 + 2√6 - 5 = 2√6 bulunur. B (√6), tam kare açılımında orta terimi 2√6 yerine √6 alanların sonucudur. Cevap E.
√(2⁸ · 3⁶) ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: E — 432
Karekök alınırken üsler 2'ye bölünür: √(2⁸·3⁶) = 2⁸ᐟ² · 3⁶ᐟ² = 2⁴ · 3³. Buradan 2⁴ = 16 ve 3³ = 27 olduğundan sonuç 16·27 = 432 bulunur. B seçeneğindeki 144, 3³ yerine 3² = 9 alınarak 16·9 işleminin yapılmasından; C seçeneğindeki 216 ise 2⁴ yerine 2³ = 8 alınarak 8·27 hesaplanmasından doğar. Üsleri yarıya indirme işlemi her taban için ayrı ayrı uygulanmalıdır. Cevap E.
