Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 6. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay7 orta2 zor
7x ≡ 2 (mod 9) denklemini sağlayan x tam sayısının 9 ile bölümünden kalanı kaçtır?
Doğru cevap: E — 8
7·4 = 28 ≡ 1 (mod 9) olduğundan 7'nin mod 9'a göre tersi 4'tür. Denklemin iki yanı 4 ile çarpılır: 28x ≡ 8 (mod 9), yani x ≡ 8 (mod 9) bulunur. Kontrol edilirse 7·8 = 56 = 9·6 + 2'dir. Sağ taraftaki 2'yi doğrudan cevap sanan öğrenci 2 (A şıkkı) der. Cevap 8.
Bugün Pazar olduğuna göre bugünden 45 gün sonra haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: B — Çarşamba
Günler 7'şer 7'şer devrettiğinden 45 sayısının 7 ile bölümünden kalanına bakılır. 45 = 7·6 + 3 olduğundan Pazar gününden 3 gün sonrası aranır. Pazar + 3 = Çarşamba bulunur. Kalanı 4 hesaplayan öğrenci C şıkkındaki Perşembe gününü işaretler. Cevap Çarşamba.
2^(2^10) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 7
2'nin 9'a göre kalanları 2, 4, 8, 7, 5, 1 biçiminde 6 adımda tekrarlar. Bu nedenle üssün 6 ile bölümünden kalanına bakılır: 2^10 = 1024 ve 1024 = 6·170 + 4'tür. Kalan, dizinin dördüncü terimi olan 7'dir. Periyodu 6 yerine 3 sanıp 1024 mod 3 = 1 alan öğrenci 2 (B şıkkı) der. Cevap 7.
Bir x tam sayısı için x ≡ 2 (mod 5) ve x ≡ 3 (mod 7) olduğuna göre 0 ≤ x < 35 aralığındaki x değeri kaçtır?
Doğru cevap: B — 17
İlk koşuldan x = 5k + 2 yazılır ve ikinci koşulda yerine konur: 5k + 2 ≡ 3 (mod 7). 5k ≡ 1 (mod 7) olur; 5·3 = 15 ≡ 1 olduğundan k ≡ 3 (mod 7) ve en küçük k = 3'tür. x = 5·3 + 2 = 17 bulunur; gerçekten 17 = 7·2 + 3'tür. Koşulları yer değiştirip x ≡ 3 (mod 5) ve x ≡ 2 (mod 7) çözen öğrenci 23 (D şıkkı) der. Cevap 17.
a ◊ b = a^2 + b biçiminde tanımlanan işleme göre (2 ◊ 3) ◊ 1 - 2 ◊ (3 ◊ 1) farkı kaçtır?
Doğru cevap: D — 36
2 ◊ 3 = 4 + 3 = 7 ve (2 ◊ 3) ◊ 1 = 7 ◊ 1 = 49 + 1 = 50 bulunur. 3 ◊ 1 = 9 + 1 = 10 ve 2 ◊ (3 ◊ 1) = 2 ◊ 10 = 4 + 10 = 14 bulunur. Fark 50 - 14 = 36'dır. İşlemin birleşme özelliği olduğunu varsayan öğrenci farkı 0 (A şıkkı) kabul eder. Cevap 36.
Bugün Perşembe olduğuna göre bugünden 30 gün sonra haftanın hangi günüdür?
Doğru cevap: E — Cumartesi
Haftanın günleri 7'şerli devrettiğinden 30 sayısının 7 ile bölümünden kalanına bakılır. 30 = 7·4 + 2 olduğundan Perşembe gününden 2 gün sonrası aranır. Perşembe + 2 = Cumartesi bulunur. Kalanı 1 alan öğrenci D şıkkındaki Cuma gününü işaretler. Cevap Cumartesi.
Bir doğal sayının 6 ile bölümünden kalan 4'tür. Buna göre bu sayının karesinin 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 4
Sayı x ise x ≡ 4 (mod 6) yazılır. Her iki taraf kare alınırsa x^2 ≡ 16 (mod 6) olur ve 16 = 6·2 + 4 olduğundan x^2 ≡ 4 (mod 6) bulunur. Kalanın karesini alıp 16'yı doğrudan yazmak yerine kalanı ikiye katlayan öğrenci 2 (C şıkkı) gibi yanlış sonuçlara ulaşır. Cevap 4.
Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan 5'tir. Buna göre bu sayının 2 fazlasının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: E — 7
Sayı x ise x ≡ 5 (mod 8) yazılır. Her iki tarafa 2 eklenirse x + 2 ≡ 7 (mod 8) bulunur; 7 < 8 olduğundan kalan doğrudan 7'dir. Sayıya eklenen 2'nin kalanı değiştirmediğini düşünen öğrenci 5 (D şıkkı) der. Cevap 7.
Saat 20:00 iken 55 saat sonra saat kaç olur? (24 saatlik gösterimde saatin sayısal değeri isteniyor.)
Doğru cevap: B — 3
Saatler 24'e göre devrettiği için 20 + 55 = 75 sayısının 24 ile bölümünden kalanı bulunur. 75 = 24·3 + 3 olduğundan saat 03:00 olur. Yalnızca 55'in 24 ile bölümünden kalanını alıp başlangıç saatini eklemeyi unutan öğrenci 7 (D şıkkı) der. Cevap 3.
a ⊞ b = 5a - 3b biçiminde tanımlanan işleme göre 4 ⊞ 3 kaçtır?
Doğru cevap: D — 11
a yerine 4, b yerine 3 yazılır: 4 ⊞ 3 = 5·4 - 3·3. 20 - 9 = 11 bulunur. İkinci terimde 3 ile çarpmayı unutup 20 - 3 = 17 (E şıkkı) diyen öğrenci hata yapar. Cevap 11.
Gerçel sayılar kümesinde a * b = a + b + a·b biçiminde tanımlanan işlemin birim (etkisiz) elemanı kaçtır?
Doğru cevap: B — 0
Birim eleman e için her a sayısında a * e = a olmalıdır. a + e + a·e = a eşitliğinden e·(1 + a) = 0 elde edilir; bu her a için sağlanacaksa e = 0 olmalıdır. Kontrol edilirse a * 0 = a + 0 + 0 = a'dır. İşlemde çarpma gördüğü için birim elemanı 1 (C şıkkı) sanan öğrenci yanılır. Cevap 0.
A = {a, b, c, d} kümesinde ∗ işlemi aşağıdaki tabloyla veriliyor. ∗ | a b c d --+------------ a | c d a b b | d a b c c | a b c d d | b c d a Buna göre bu işlemin birim (etkisiz) elemanı hangisidir?
Doğru cevap: C — c
Birim eleman, satırı ve sütunu başlık sırasının aynısı olan elemandır. c satırı a, b, c, d biçiminde yazıldığı gibi c sütununda da a ∗ c = a, b ∗ c = b, c ∗ c = c ve d ∗ c = d olur. Bu nedenle birim eleman c'dir. Tabloda ilk sırada yer aldığı için birim elemanı a sanan öğrenci A şıkkını seçer; oysa a ∗ a = c'dir. Cevap c.
3^5 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 3
3^2 = 9 ≡ 1 (mod 8) olduğundan üsler ikişerli gruplanır. 3^5 = (3^2)^2·3 ≡ 1·3 ≡ 3 (mod 8) bulunur. Grupladıktan sonra artan tek çarpanı hesaba katmayan öğrenci 1 (A şıkkı) der. Cevap 3.
Sıfırdan farklı gerçel sayılarda a ⊕ b = (a·b)/4 biçiminde tanımlanan işleme göre 8 elemanının tersi kaçtır?
Doğru cevap: A — 2
Önce birim eleman bulunur: (a·e)/4 = a eşitliğinden e = 4'tür. 8 elemanının tersi t için 8 ⊕ t = 4, yani (8·t)/4 = 4 olmalıdır. 2t = 4 denkleminden t = 2 bulunur. Birim elemanı ters eleman sanan öğrenci 4 (B şıkkı) der. Cevap 2.
a ⊗ b = a·b - a - b biçiminde tanımlanan işlemde 4 ⊗ x = 11 olduğuna göre x kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
4 ⊗ x = 4·x - 4 - x = 3x - 4 yazılır. 3x - 4 = 11 denkleminden 3x = 15 ve x = 5 bulunur. İşlemdeki -b terimini +b yazan öğrenci 5x - 4 = 11 denklemini kurar ve 3 (A şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 5.
