Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin İşlem – Modüler Aritmetik konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 125 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay8 orta1 zor
-23 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: D — 4
Kalan her zaman 0 ile bölenden bir eksiği arasında, yani negatif olmayan bir sayıdır. -23 = 9·(-3) + 4 yazılabildiğinden kalan 4'tür. Sayının işaretini yok sayıp 23'ün 9 ile bölümünden kalanı olan 5 (E şıkkı) cevabını vermek yaygın hatadır. Cevap 4.
7^2025 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
7 ≡ 2 (mod 5) olduğundan 7^2025 ≡ 2^2025 (mod 5) yazılır. 2'nin 5'e göre kalanları 2, 4, 3, 1 biçiminde 4 adımda tekrarlar; 2025 = 4·506 + 1'dir. Kalan, dizinin birinci terimi olan 2'dir. Üssü 5'e bölüp 2025 mod 5 = 0 alan öğrenci 7^0 = 1 (B şıkkı) der. Cevap 2.
4^11 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 2
4'ün 7'ye göre kalanları 4, 2, 1 biçiminde 3 adımda bir tekrarlanır: 4^1 ≡ 4, 4^2 ≡ 2, 4^3 ≡ 1 (mod 7). 11 = 3·3 + 2 olduğundan 4^11 = (4^3)^3 · 4^2 ≡ 1·2 ≡ 2 (mod 7) bulunur. Üssü doğrudan modüle bölen, yani 11 yerine 11 mod 7 = 4 alan öğrenci 4^4 ≡ 4 (E şıkkı) der. Cevap 2.
Bir makineye 9 günde bir bakım yapılmaktadır. İlk bakım Salı günü yapıldığına göre 20. bakım haftanın hangi günü yapılır?
Doğru cevap: E — Cuma
İlk bakımdan 20. bakıma kadar 19 aralık geçer; bu da 19·9 = 171 gündür. 171 = 7·24 + 3 olduğundan Salı gününden 3 gün sonrası aranır. Salı + 3 = Cuma bulunur. Aralık sayısını 19 yerine 20 alan öğrenci 180 = 7·25 + 5 hesabıyla A şıkkındaki Pazar gününü söyler. Cevap Cuma.
5^100 sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
5'in 13'e göre kalanları 5, 12, 8, 1 biçiminde ilerler; 5^4 ≡ 1 (mod 13)'tür. 100 = 4·25 olduğundan 5^100 = (5^4)^25 ≡ 1^25 ≡ 1 (mod 13) bulunur. Üssün 4 ile bölümünden kalan 0 çıkınca 5^0 yerine 5^1 alan öğrenci 5 (C şıkkı) der. Cevap 1.
7^2 sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: B — 1
7^2 = 49'dur. 49 = 12·4 + 1 olduğundan kalan 1'dir. Tabanı doğrudan kalan sanan, yani 7 (E şıkkı) diyen öğrenci üs almayı hesaba katmamıştır. Cevap 1.
7^2024 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
Birler basamağı, sayının 10 ile bölümünden kalanına eşittir. 7'nin kuvvetlerinin birler basamağı 7, 9, 3, 1 biçiminde 4 adımda tekrarlar; 2024 = 4·506'dır. Üs 4'ün tam katı olduğundan dizinin dördüncü terimi olan 1 alınır. Üssün 4 ile bölümünden kalanı 0 çıkınca dizinin birinci terimine dönen öğrenci 7 (D şıkkı) der. Cevap 1.
5 ile bölümünden 3, 4 ile bölümünden 1 kalanını veren en küçük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?
Doğru cevap: A — 13
5 ile bölümünden 3 kalanını veren sayılar 13, 18, 23, 28, ... biçiminde 5'er 5'er artar. Bunlardan 4 ile bölümünden 1 kalanını vereni aranır: 13 = 4·3 + 1 olduğundan koşul sağlanır. İkinci koşulu "4 ile bölümünden 3 kalanını verir" biçiminde okuyan öğrenci 23 (C şıkkı) cevabını verir. Cevap 13.
a * b = a - b + 1 biçiminde tanımlanan işleme göre (5 * 3) * 2 + 5 * (3 * 2) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 6
Önce 5 * 3 = 5 - 3 + 1 = 3 ve buradan (5 * 3) * 2 = 3 * 2 = 3 - 2 + 1 = 2 bulunur. Sonra 3 * 2 = 2 ve 5 * (3 * 2) = 5 * 2 = 5 - 2 + 1 = 4 bulunur. Toplam 2 + 4 = 6'dır. İşlemin birleşme özelliği olduğunu varsayıp iki ifadeyi eşit sanan ve yalnızca birini yazan öğrenci 2 (B şıkkı) der. Cevap 6.
a ⊙ b = a·b + a - b biçiminde tanımlanan işleme göre 6 ⊙ 2 kaçtır?
Doğru cevap: C — 16
a yerine 6, b yerine 2 yazılır: 6 ⊙ 2 = 6·2 + 6 - 2. 12 + 6 - 2 = 16 bulunur. İşaretleri karıştırıp a·b + b - a biçiminde hesaplayan öğrenci 12 + 2 - 6 = 8 (A şıkkı) der. Cevap 16.
Gerçel sayılarda a * b = a + 2b biçiminde tanımlanan işlem için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Doğru cevap: C — İşlemin değişme özelliği yoktur
Değişme özelliğini sınamak için bir karşıt örnek bulmak yeterlidir. 1 * 2 = 1 + 2·2 = 5 iken 2 * 1 = 2 + 2·1 = 4'tür; iki sonuç farklı olduğundan değişme özelliği yoktur. İşlemin tanımında toplama geçtiği için her işlemin değişmeli olduğunu varsayan, yani karşıt örnek denemeyen öğrenci A şıkkını seçer. Ayrıca (1 * 2) * 3 = 5 * 3 = 11 iken 1 * (2 * 3) = 1 * 8 = 17 olduğundan birleşme özelliği de yoktur; bu yüzden B de doğru değildir. Cevap C.
Gerçel sayılarda a * b = a + b + 1 biçiminde tanımlanan işlem için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Doğru cevap: E — İşlemin birim elemanı 0'dır
Birim eleman e için a + e + 1 = a olmalıdır; buradan e = -1 bulunur. Dolayısıyla birim elemanın 0 olduğunu söyleyen E şıkkı yanlıştır; gerçekten a * 0 = a + 1 ≠ a'dır. 3 elemanının tersi t için 3 + t + 1 = -1, yani t = -5'tir; toplama işlemine benzediği için birim elemanı 0 sanan öğrenci C şıkkındaki doğru ifadeyi yanlış sanar. Cevap İşlemin birim elemanı 0'dır.
5x ≡ 3 (mod 8) denklemini sağlayan x tam sayısının 8 ile bölümünden kalanı kaçtır?
Doğru cevap: E — 7
5·5 = 25 ≡ 1 (mod 8) olduğundan 5'in mod 8'e göre tersi yine 5'tir. Denklemin iki yanı 5 ile çarpılır: 25x ≡ 15 (mod 8), yani x ≡ 7 (mod 8) bulunur. Kontrol edilirse 5·7 = 35 = 8·4 + 3'tür. Sağ taraftaki 3'ü doğrudan cevap sanan öğrenci 3 (B şıkkı) der. Cevap 7.
Gerçel sayılar kümesinde a ⊙ b = a·b - 2b biçiminde tanımlanan işlem veriliyor. Buna göre 5 ⊙ 3 kaçtır?
Doğru cevap: B — 9
a yerine 5, b yerine 3 yazılır: 5 ⊙ 3 = 5·3 - 2·3. 15 - 6 = 9 bulunur. Çıkarılan terimde b yerine a kullanan öğrenci 15 - 2·5 = 5 (A şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 9.
543 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Doğru cevap: C — 3
Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir. 5 + 4 + 3 = 12 ve 12 = 9·1 + 3 olduğundan kalan 3'tür. Sayının 3 ile tam bölündüğünü görüp 9 ile de tam bölünür sanan öğrenci 0 (A şıkkı) der. Cevap 3.
