Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Kümeler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 124 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay8 orta1 zor
A = {3, x + 2} ve B = {3, 2x - 5} kümeleri eşit olduğuna göre x kaçtır?
Doğru cevap: D — 7
Eşit kümelerde 3 elemanı ortak olduğundan x + 2 = 2x - 5 olmalıdır. Denklemden x = 7 bulunur; bu durumda A = B = {3, 9} olur. x + 2 = 3 eşleştirmesini yapan öğrenci 1 (A şıkkı) bulur; ancak o zaman A = {3} ve B = {3, -3} olur, kümeler eşit olmaz. Cevap 7.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğru değildir?
Doğru cevap: E — A∪B ⊆ A∩B
Kesişim, kümelerin ortak kısmıdır ve her iki kümenin de alt kümesidir; birleşim ise her iki kümeyi de kapsar. Bu nedenle her zaman A∩B ⊆ A∪B yazılır, tersi ise ancak A = B iken doğrudur. Kapsama yönünü ters çeviren öğrenci D şıkkındaki doğru ifadeyi yanlış sanır. Cevap E şıkkıdır: A∪B ⊆ A∩B.
Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı 35 olduğuna göre bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Doğru cevap: C — 7
C(n, 3) = 35 eşitliği aranır; n·(n-1)·(n-2)/6 = 35 yazılır. n = 7 için 7·6·5/6 = 35 sağlanır. n = 8 denenirse C(8, 3) = 56 olur ve eşitlik bozulur; bu nedenle 8 (D şıkkı) yanlıştır. Cevap 7.
B = {x : x tek doğal sayı, 3 < x < 12} kümesi veriliyor. Buna göre s(B) kaçtır?
Doğru cevap: B — 4
Koşulu sağlayan tek doğal sayılar 5, 7, 9 ve 11'dir. B = {5, 7, 9, 11} olduğundan s(B) = 4 bulunur. Eşitsizlik kesin olduğu için 3 sayısı kümeye alınmaz; alınırsa 5 (C şıkkı) bulunur. Cevap 4.
A ve B denk kümelerdir. s(A) = 7 olduğuna göre B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Doğru cevap: D — 128
Denk kümelerin eleman sayıları eşittir, bu nedenle s(B) = s(A) = 7'dir. Alt küme sayısı 2^n formülüyle bulunur: 2^7 = 128. Alt küme yerine öz alt küme sayısı hesaplanırsa 127 (C şıkkı) bulunur. Cevap 128.
A ⊆ B, s(A) = 5 ve s(B) = 9 olduğuna göre s(A∪B) + s(B\A) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: E — 13
A ⊆ B olduğundan A∪B = B olur ve s(A∪B) = 9 bulunur. Yine A ⊆ B olduğundan s(B\A) = 9 - 5 = 4'tür. İstenen toplam 9 + 4 = 13'tür. Yalnızca birleşimi bulup 9 (C şıkkı) demek eksik cevaptır. Cevap 13.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = {2, 4, 6, 8, 10} kümeleri veriliyor. Buna göre A∩B kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 12
İki kümenin ortak elemanları 2, 4 ve 6'dır, yani A∩B = {2, 4, 6} olur. İstenen, bu kümenin elemanlarının toplamıdır: 2 + 4 + 6 = 12. Kesişimin eleman sayısı olan 3 (A şıkkı) ile elemanların toplamı karıştırılmamalıdır. Cevap 12.
Bir sınıftaki 44 öğrenciden 26'sı futbol, 24'ü basketbol oynamaktadır. Her iki oyunu da oynayanların sayısı, bu oyunlardan hiçbirini oynamayanların sayısının 3 katı olduğuna göre her iki oyunu da oynayan kaç öğrencidir?
Doğru cevap: E — 9
Hiçbirini oynamayanların sayısı x ise her ikisini de oynayanlar 3x olur. s(F∪B) = 26 + 24 - 3x olduğundan 26 + 24 - 3x + x = 44 yazılır. 50 - 2x = 44 denkleminden x = 3 bulunur. İstenen 3x = 9'dur; x değerinde durup 3 (B şıkkı) demek soruyu yanlış okumaktan kaynaklanır. Cevap 9.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin, elemanları toplamı tek sayı olan kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: E — 128
Bir alt kümenin eleman toplamının tek olması için içindeki tek sayıların adedinin tek olması gerekir. Kümedeki 4 tek sayıdan tek adette seçim C(4,1) + C(4,3) = 4 + 4 = 8 biçimde, 4 çift sayı için seçim ise 2^4 = 16 biçimde yapılır. 8·16 = 128 alt küme bulunur; bu, tüm alt kümelerin sayısı olan 256'nın tam yarısıdır. 256'yı dörde bölüp 64 (C şıkkı) demek hatalıdır. Cevap 128.
A\B = {1, 3} ve A∩B = {2, 5, 7} olduğuna göre s(A) kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
A kümesi, B ile ortak olan ve olmayan elemanlarının birleşimidir: A = (A\B)∪(A∩B). Bu iki küme ayrık olduğundan s(A) = 2 + 3 = 5 bulunur. Yalnızca kesişimi sayan öğrenci 3 (A şıkkı) der. Cevap 5.
Bir A kümesine 2 yeni eleman eklendiğinde kümenin alt küme sayısı 96 artmaktadır. Buna göre s(A) kaçtır?
Doğru cevap: A — 5
s(A) = n olsun. Yeni kümenin alt küme sayısı 2^(n+2) = 4·2^n olur. Artış 4·2^n - 2^n = 3·2^n = 96 ise 2^n = 32 ve n = 5 bulunur. Yeni kümenin alt küme sayısını 128 bulup n + 2 = 7 eşitliğinde durarak 7 (C şıkkı) demek yaygın hatadır. Cevap 5.
A = {x : x, 20 sayısının pozitif böleni} ve B = {x : x, 12 sayısının pozitif böleni} kümeleri veriliyor. Buna göre s(A\B) kaçtır?
Doğru cevap: B — 3
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ve B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} biçiminde yazılır. A\B, A'da olup B'de olmayan elemanlardır: {5, 10, 20}. Bu kümenin 3 elemanı vardır. Ortak elemanları çıkarmayı unutup s(A) değeri olan 6 (E şıkkı) demek yaygın hatadır. Cevap 3.
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin, eleman sayısı çift olan (boş küme dâhil) kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: A — 16
Eleman sayısı çift olan alt kümeler 0, 2 ve 4 elemanlı olanlardır. C(5, 0) + C(5, 2) + C(5, 4) = 1 + 10 + 5 = 16 bulunur. Kümenin tüm alt kümelerinin sayısı olan 2^5 = 32 (E şıkkı) ile karıştırılmamalıdır. Cevap 16.
Bir okulda 60 öğrenciden 34'ü satranç, 29'u dama kulübüne üyedir. Her iki kulübe de üye olan 9 öğrenci olduğuna göre bu kulüplerden hiçbirine üye olmayan kaç öğrencidir?
Doğru cevap: B — 6
En az bir kulübe üye olanlar s(S∪D) = 34 + 29 - 9 = 54 öğrencidir. Hiçbirine üye olmayanlar 60 - 54 = 6 öğrencidir. Yalnızca her iki kulübe de üye olanların sayısı olan 9 (C şıkkı) soruda istenen değer değildir. Cevap 6.
s(A∩B') = 15 ve s(A∩B) = 9 olduğuna göre s(A) kaçtır?
Doğru cevap: D — 24
A kümesi, B ile kesişen kısmı ve B'nin dışında kalan kısmı olmak üzere iki ayrık parçadan oluşur. A∩B' ifadesi A\B kümesine eşit olduğundan s(A) = 15 + 9 = 24 bulunur. Parçaları toplamak yerine çıkaran öğrenci 15 - 9 = 6 (A şıkkı) der. Cevap 24.
