Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Kümeler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 124 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
7 kolay7 orta1 zor
A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre A∪B kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Doğru cevap: C — 21
Birleşimde ortak elemanlar bir kez yazılır: A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bu kümenin elemanları toplamı 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21'dir. İki kümenin eleman toplamlarını (15 ve 15) doğrudan toplayan öğrenci ortak elemanları iki kez sayarak 30 (E şıkkı) bulur. Cevap 21.
Evrensel küme E olmak üzere s(E) = 70 ve s(A∩B) = 15 olduğuna göre s(A'∪B') kaçtır?
Doğru cevap: C — 55
De Morgan kuralına göre A'∪B' = (A∩B)' yazılır. Tümleme, evrensel kümeden çıkarma ile bulunur: s((A∩B)') = 70 - 15 = 55. İfadeyi (A∪B)' sanan öğrenci kesişim değerini olduğu gibi bırakıp 15 (A şıkkı) diyebilir. Cevap 55.
5 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: C — 16
En çok 2 elemanlı alt kümeler; 0, 1 ve 2 elemanlı alt kümelerdir. C(5, 0) + C(5, 1) + C(5, 2) = 1 + 5 + 10 = 16 bulunur. Boş kümeyi saymayı unutan öğrenci 5 + 10 = 15 (B şıkkı) der. Cevap 16.
a ve b birer tam sayı olmak üzere A = {2a - 1, 8} ve B = {5, 3b + 2} kümeleri eşittir. Buna göre a + b toplamı kaçtır?
Doğru cevap: D — 5
Eşit kümelerin elemanları birebir aynıdır. 8 ≠ 5 olduğundan 2a - 1 = 5 ve 3b + 2 = 8 olmalıdır. Buradan a = 3 ve b = 2 bulunur. İstenen toplam a + b = 5'tir. Toplam yerine çarpım hesaplayan öğrenci 3·2 = 6 (E şıkkı) yazar. Cevap 5.
Bir sitede oturan 160 kişiden 76'sı gazete, 68'i dergi, 54'ü kitap okumaktadır. Tam olarak iki tür yayın okuyan 38, üç türü de okuyan 11 kişi olduğuna göre bu yayınlardan hiçbirini okumayan kaç kişi vardır?
Doğru cevap: E — 22
76 + 68 + 54 = 198 toplamında tam olarak iki tür okuyanlar 2 kez, üç türü de okuyanlar 3 kez sayılır. Tam olarak bir tür okuyanlar 198 - 2·38 - 3·11 = 198 - 76 - 33 = 89 kişidir. En az bir yayın okuyanlar 89 + 38 + 11 = 138 kişi olduğundan hiçbirini okumayanlar 160 - 138 = 22 kişidir. Verilen değerler ikili kesişim toplamı sanılıp 198 - 38 - 11 = 149 ve 160 - 149 = 11 (A şıkkı) denmesi yaygın hatadır. Cevap 22.
s(A\B) = 3·s(A∩B) ve s(A) = 24 olduğuna göre s(A∩B) kaçtır?
Doğru cevap: B — 6
s(A∩B) = x dersek s(A\B) = 3x olur. s(A) = s(A\B) + s(A∩B) olduğundan 3x + x = 24 ve x = 6 bulunur. Denklemi kurarken A kümesini yalnızca farktan ibaret sayan öğrenci 3x = 18 (E şıkkı) değerini cevap yazar. Cevap 6.
A = {x, y} kümesi veriliyor. Buna göre A×A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 16
s(A×A) = s(A)·s(A) = 2·2 = 4 olduğundan A×A kümesinin 4 elemanı vardır. Alt küme sayısı 2^4 = 16 bulunur. Kartezyen çarpımın eleman sayısı olan 4 (A şıkkı) ile alt küme sayısı karıştırılmamalıdır. Cevap 16.
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Doğru cevap: D — A ile B denk kümelerdir
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ile B denktir; ancak elemanları farklı olduğu için eşit değillerdir. Denklik ile eşitliği karıştıran öğrenci A şıkkını seçer. Ayrıca ortak eleman bulunmadığından A∩B boş kümedir ve s(A×B) = 9'dur. Cevap D şıkkıdır: A ile B denk kümelerdir.
Bir A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı, 2 elemanlı alt küme sayısına eşittir. Buna göre s(A) kaçtır?
Doğru cevap: B — 5
C(n, r) = C(n, s) eşitliği, ya r = s olduğunda ya da r + s = n olduğunda sağlanır. Burada 3 ≠ 2 olduğundan n = 3 + 2 = 5 bulunur. Gerçekten C(5, 3) = C(5, 2) = 10'dur. Eleman sayısını rastgele deneyip 6 (C şıkkı) diyen öğrenci C(6, 3) = 20 ile C(6, 2) = 15'in eşit olmadığını gözden kaçırır. Cevap 5.
s(A) = 7 olduğuna göre A×A kartezyen çarpımının eleman sayısı kaçtır?
Doğru cevap: D — 49
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır. s(A×A) = s(A)·s(A) = 7·7 = 49 bulunur. Çarpma yerine toplama yapan öğrenci 7 + 7 = 14 (A şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 49.
A = {x : x doğal sayı, 5 < x < 6} kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Doğru cevap: A — 1
5 ile 6 arasında doğal sayı bulunmadığından A boş kümedir ve s(A) = 0'dır. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2^n olduğundan 2^0 = 1 bulunur. Boş kümenin tek alt kümesi yine kendisidir; boş kümeyi {∅} biçiminde 1 elemanlı sanan öğrenci 2 (B şıkkı) der. Cevap 1.
Evrensel küme E olmak üzere s(E) = 80, s(A') = 34, s(B') = 41 ve s(A'∩B') = 18 olduğuna göre s(A∩B) kaçtır?
Doğru cevap: A — 23
Tümlemelerden s(A) = 80 - 34 = 46 ve s(B) = 80 - 41 = 39 bulunur. De Morgan kuralına göre A'∩B' = (A∪B)' olduğundan s(A∪B) = 80 - 18 = 62'dir. s(A∩B) = 46 + 39 - 62 = 23 bulunur. Soruda verilen s(A') = 34 değerini doğrudan s(A∩B) sanan öğrenci C şıkkını, ilk adımda bulunan s(A) = 46 değerinde durup onu cevap yazan öğrenci ise E şıkkını işaretler. Cevap 23.
Aşağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir?
Doğru cevap: E — {x : x asal sayı, 24 < x < 28}
24 ile 28 arasındaki sayılar 25, 26 ve 27'dir; bunların hiçbiri asal değildir. Bu nedenle E şıkkındaki kümenin hiç elemanı yoktur, yani boş kümedir. 0 sayısını doğal sayı saymayan öğrenci A şıkkındaki kümeyi boş sanır; oysa o küme {0} kümesidir. Cevap {x : x asal sayı, 24 < x < 28}.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin, 1 elemanını bulunduran 4 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: B — 20
1 elemanı zaten alt kümede olduğundan geriye kalan 3 eleman, diğer 6 eleman arasından seçilir. C(6, 3) = (6·5·4)/6 = 20 bulunur. 1 elemanı bulundurma koşulunu dikkate almayan öğrenci tüm 4 elemanlı alt kümeleri sayarak C(7, 4) = 35 (E şıkkı) der. Cevap 20.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere (A∩B)' ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Doğru cevap: E — A'∪B'
De Morgan kurallarına göre bir kesişimin tümlemesi, tümlemelerin birleşimine eşittir. Yani (A∩B)' = A'∪B' yazılır. Tümlemeleri alırken işlemi de değiştirmeyi unutan öğrenci B şıkkındaki A'∩B' ifadesini seçer. Cevap E şıkkıdır: A'∪B'.
