Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Kümeler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 124 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay8 orta6 zor
A×B kümesinin elemanları arasında (2, 5) ve (4, 3) sıralı ikilileri bulunmaktadır. Buna göre s(A×B) en az kaçtır?
Doğru cevap: B — 4
(2, 5) ve (4, 3) ikililerinden A kümesi en az 2 ve 4 elemanlarını, B kümesi en az 5 ve 3 elemanlarını içerir. En az durumda s(A) = 2 ve s(B) = 2 olur; s(A×B) = 2·2 = 4 bulunur. Verilen sıralı ikili sayısı olan 2 (A şıkkı) cevap sanılmamalıdır; A×B kümesinde (2, 3) ve (4, 5) ikilileri de zorunlu olarak bulunur. Cevap 4.
s(A∪B) = 42, s(A\B) = 17 ve s(B\A) = 13 olduğuna göre s(A∩B) kaçtır?
Doğru cevap: C — 12
Birleşim kümesi üç ayrık parçadan oluşur: A\B, A∩B ve B\A. 42 = 17 + s(A∩B) + 13 eşitliğinden s(A∩B) = 42 - 30 = 12 bulunur. İki farkı toplayıp orada durmak, yani 17 + 13 = 30 (E şıkkı) demek yanlıştır; bu değer kesişim dışında kalan kısımdır. Cevap 12.
Evrensel küme E olmak üzere s(E) = 30 ve s(A) = 11 olduğuna göre s(A') - s(A) farkı kaçtır?
Doğru cevap: D — 8
Tümleme, evrensel kümeden A kümesinin çıkarılmasıyla bulunur: s(A') = 30 - 11 = 19. İstenen fark s(A') - s(A) = 19 - 11 = 8'dir. Yalnızca tümlemeyi hesaplayıp 19 (E şıkkı) demek soruyu yarım bırakmaktır. Cevap 8.
s(A∪B∪C) = 47, s(A) = 26, s(B) = 22, s(C) = 19, s(A∩B) = 9, s(B∩C) = 7 ve s(A∩B∩C) = 4 olduğuna göre s(A∩C) kaçtır?
Doğru cevap: D — 8
s(A∪B∪C) = s(A)+s(B)+s(C) - s(A∩B) - s(A∩C) - s(B∩C) + s(A∩B∩C) bağıntısı yazılır. 47 = 26 + 22 + 19 - 9 - s(A∩C) - 7 + 4 eşitliğinde 26 + 22 + 19 = 67 ve 67 - 16 + 4 = 55 olur. 55 - s(A∩C) = 47 olduğundan s(A∩C) = 8 bulunur. Bağıntının sonundaki üçlü kesişimi eklemeyi unutan öğrenci 51 - s(A∩C) = 47'den 4 (A şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 8.
A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2} kümeleri veriliyor. A×B kümesinin bileşenleri birbirine eşit olan kaç elemanı vardır?
Doğru cevap: A — 2
A×B kümesinin elemanları (a, b) biçimindedir; a ∈ A ve b ∈ B'dir. Bileşenlerin eşit olması için a = b olmalıdır; bunu sağlayan ikililer (1, 1) ve (2, 2)'dir. 3 sayısı B kümesinde bulunmadığından (3, 3) ikilisi yoktur. Kartezyen çarpımın eleman sayısı olan 6 (E şıkkı) ile karıştırılmamalıdır. Cevap 2.
Evrensel küme E olmak üzere s(E) = 60, s(A) = 35, s(B) = 28 ve s(A∪B) = 48 olduğuna göre s(A'∩B) kaçtır?
Doğru cevap: E — 13
Önce kesişim bulunur: 48 = 35 + 28 - s(A∩B) eşitliğinden s(A∩B) = 15'tir. A'∩B kümesi, B\A kümesine eşittir: s(B\A) = 28 - 15 = 13. Kesişim değerinde durup 15 demek ya da tümlemeyi 60 - 48 = 12 (D şıkkı) biçiminde yorumlamak yaygın hatalardır. Cevap 13.
60 kişilik bir grupta 38 kişi İngilizce, 25 kişi Almanca bilmektedir. Bu dillerden hiçbirini bilmeyenlerin sayısı, her iki dili de bilenlerin sayısının yarısı olduğuna göre her iki dili de bilen kaç kişidir?
Doğru cevap: D — 6
Her iki dili de bilenler x ise hiçbirini bilmeyenler x/2 olur. En az bir dil bilenler 38 + 25 - x olduğundan 38 + 25 - x + x/2 = 60 yazılır. 63 - x/2 = 60 denkleminden x = 6 bulunur. Hiçbirini bilmeyenlerin sayısı olan 3 (B şıkkı) cevap sanılmamalıdır. Cevap 6.
Bir turnuvaya katılan 130 sporcunun her biri koşu, yüzme ve bisiklet branşlarından en az birinde yarışmıştır. Koşuda 74, yüzmede 68, bisiklette 55 sporcu yarışmıştır. Üç branşta da yarışan 12 sporcu olduğuna göre yalnızca bir branşta yarışan kaç sporcudur?
Doğru cevap: D — 75
74 + 68 + 55 = 197 toplamında bir branşta yarışanlar 1, iki branşta yarışanlar 2, üç branşta yarışanlar 3 kez sayılır. Fazla sayım 197 - 130 = 67 olup bu değer t2 + 2·12 = t2 + 24'e eşittir; buradan t2 = 43 bulunur. Yalnızca bir branşta yarışanlar t1 = 130 - 43 - 12 = 75 sporcudur. Tam olarak iki branşta yarışanların sayısı olan 43 (A şıkkı) ile karıştırılmamalıdır. Cevap 75.
s(A) = s(B) + 3 ve s(A×B) = 40 olduğuna göre s(A∪B) en az kaçtır?
Doğru cevap: E — 8
s(B) = c dersek s(A) = c + 3 ve c·(c + 3) = 40 olur; c = 5 için 5·8 = 40 sağlanır. Buna göre s(A) = 8 ve s(B) = 5'tir. Birleşim en küçük değerini B ⊆ A iken alır ve bu durumda s(A∪B) = s(A) = 8 olur. Kümeler ayrık olsaydı en büyük değer 13 bulunurdu; s(B) değeri olan 5 (C şıkkı) ise birleşimin alabileceği bir değer değildir. Cevap 8.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin, en büyük elemanı 4 olan kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: A — 8
En büyük eleman 4 ise 4 alt kümede bulunmalı, 5 ve 6 ise bulunmamalıdır. Geriye kalan 1, 2, 3 elemanlarının her biri alt kümede olabilir ya da olmayabilir: 2^3 = 8. 4 elemanının bulunma zorunluluğunu göz ardı edip 1, 2, 3, 4 elemanları için 2^4 = 16 (C şıkkı) demek hatalıdır. Cevap 8.
s(A) = 18, s(B) = 15 ve s(A∩B) = 7 olduğuna göre s(A\B) + s(B\A) toplamı kaçtır?
Doğru cevap: A — 19
s(A\B) = 18 - 7 = 11 ve s(B\A) = 15 - 7 = 8'dir. İstenen toplam 11 + 8 = 19 bulunur. Bu değer, birleşimden kesişimin çıkarılmasına eşittir. Doğrudan birleşimi hesaplayıp 18 + 15 - 7 = 26 (B şıkkı) demek soruyu yanlış yanıtlamaktır. Cevap 19.
A ve B kümelerinin alt küme sayıları toplamı 80'dir. s(A) > s(B) olduğuna göre s(A) - s(B) farkı kaçtır?
Doğru cevap: A — 2
s(A) = a ve s(B) = c olmak üzere 2^a + 2^c = 80 yazılır. 80 sayısı ikinin farklı kuvvetlerinin toplamı olarak yalnızca 64 + 16 biçiminde yazılabilir; buradan a = 6 ve c = 4 bulunur. Fark a - c = 2'dir. Kümelerden birinin eleman sayısı olan 4 (C şıkkı) doğrudan cevap sanılmamalıdır. Cevap 2.
Bir sınıftaki 60 öğrencinin her biri A, B ve C dergilerinden en az birini okumaktadır. A dergisini 34, B dergisini 30, C dergisini 26 öğrenci okumaktadır. Tam olarak iki dergi okuyanların sayısı, üç dergiyi de okuyanların sayısının 3 katı olduğuna göre yalnızca bir dergi okuyan kaç öğrencidir?
Doğru cevap: E — 36
34 + 30 + 26 = 90 toplamında iki dergi okuyanlar 2, üç dergi okuyanlar 3 kez sayılır. Fazla sayım 90 - 60 = 30 olup t2 + 2·t3 = 30'dur; t2 = 3·t3 konulursa 5·t3 = 30 ve t3 = 6, t2 = 18 bulunur. Yalnızca bir dergi okuyanlar 60 - 18 - 6 = 36 öğrencidir. Fazla sayım değeri olan 30 (C şıkkı) doğrudan cevap sanılmamalıdır. Cevap 36.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin, 1 ve 2 elemanlarından hiçbirini bulundurmayan kaç alt kümesi vardır?
Doğru cevap: E — 128
1 ve 2 elemanları alt kümeye alınmayacağından bu iki eleman tamamen dışarıda bırakılır. Geriye kalan 7 elemanın her biri için "var" ya da "yok" seçeneği bulunur: 2^7 = 128. Dışarıda bırakılan eleman sayısını 3 sanan öğrenci 2^6 = 64 (C şıkkı) sonucuna ulaşır. Cevap 128.
Bir turnuvaya katılan 120 sporcunun her biri atletizm, yüzme ve bisiklet branşlarından en az birinde yarışmıştır. Atletizmde 64, yüzmede 58, bisiklette 46 sporcu yarışmıştır. Tam olarak iki branşta yarışan sporcu sayısı 30 olduğuna göre üç branşın üçünde de yarışan kaç sporcu vardır?
Doğru cevap: A — 9
Üç kümenin eleman sayıları toplandığında, tam olarak iki branşta yarışanlar iki kez, üç branşta yarışanlar üç kez sayılır. Bu yüzden s(A) + s(B) + s(C) − s(A∪B∪C) = (tam olarak iki) + 2·(tam olarak üç) bağıntısı yazılır. Sayılar yerine konursa 64 + 58 + 46 − 120 = 48 ve 48 = 30 + 2·x eşitliğinden x = 9 bulunur. C seçeneğindeki 18, üç branşta yarışanların da yalnız bir kez fazladan sayıldığı sanılarak 48 − 30 işleminin yapılmasından; E seçeneğindeki 30 ise soruda verilen "tam olarak iki branş" sayısının doğrudan cevap yazılmasından doğar. Cevap A.
