Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 133 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 5. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
8 kolay4 orta3 zor
ABC üçgeninde m(C) = 60° ve m(A), m(B)'den 20° fazladır. Buna göre m(A) kaç derecedir?
Doğru cevap: D — 70
İç açılar toplamı 180° olduğundan m(A) + m(B) = 180° - 60° = 120°'dir. m(A) = m(B) + 20 yerine yazılırsa m(B) + 20 + m(B) = 120 olur. 2·m(B) = 100 ise m(B) = 50° ve m(A) = 70° bulunur. 50 şıkkı m(B) açısının ölçüsüdür. Cevap D.
Bir üçgenin kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 sayılarıyla orantılıdır. Üçgenin çevresi 36 cm olduğuna göre en uzun kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 15
Kenarlar 3k, 4k ve 5k olsun. Çevre 3k + 4k + 5k = 12k = 36 ise k = 3'tür. En uzun kenar 5k = 5 · 3 = 15 cm bulunur. 12 şıkkı, ortadaki kenarın uzunluğudur (4 · 3). Cevap B.
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| = 10 cm ve |BC| = 12 cm'dir. Buna göre bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 3
A köşesinden [BC] kenarına inen yükseklik tabanı ortalar: 12 : 2 = 6 cm. Yükseklik h² = 10² - 6² = 64 ve h = 8 cm'dir; Alan = (12 · 8) : 2 = 48 cm². Çevrenin yarısı u = (10 + 10 + 12) : 2 = 16 cm'dir. İç teğet çember yarıçapı r = Alan : u = 48 : 16 = 3 cm bulunur. 1,5 şıkkı, alanın çevrenin yarısı yerine çevrenin tamamına bölünmesinden doğar. Cevap E.
Bir kenarının uzunluğu 10 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 5√3
Eşkenar üçgende yükseklik, tabanı iki eş parçaya böler ve 30-60-90 üçgeni oluşturur. Yükseklik h = a√3/2 bağıntısıyla bulunur: h = 10√3/2 = 5√3 cm. 5 şıkkı, kenarın yarısıdır; bu, yüksekliğin ayağı ile köşe arasındaki taban parçasının uzunluğudur, yüksekliğin kendisi değildir. Cevap E.
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G noktasıdır. ABC üçgeninin alanı 54 cm² olduğuna göre GBC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B — 18
Ağırlık merkezi, üçgeni köşelerle birleştirildiğinde eşit alanlı üç üçgene ayırır. Alan(GAB) = Alan(GBC) = Alan(GAC) = 54 : 3 = 18 cm² bulunur. 27 şıkkı, bir kenarortayın üçgeni ayırdığı iki eş alandan biridir (54 : 2); ağırlık merkezinden çıkan üçgen bunun 2/3'ü kadardır. Cevap B.
ABC üçgeninde m(C) = 90°, |AC| = 8 cm ve |BC| = 15 cm'dir. Buna göre |AB| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 17
C köşesindeki açı dik olduğundan hipotenüs [AB] kenarıdır. |AB|² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ve |AB| = 17 cm bulunur. 23 şıkkı, dik kenarların doğrudan toplanmasından doğar; hipotenüs iki dik kenarın toplamından her zaman küçüktür. Cevap C.
Bir üçgenin bir iç açısının ölçüsü, diğer iki iç açısının ölçüleri toplamına eşittir. Buna göre bu üçgen aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — Dik üçgen
Büyük açının ölçüsüne x, diğer ikisinin toplamına y diyelim; x = y verilmiştir. İç açılar toplamı x + y = 180° olduğundan 2x = 180 ve x = 90° bulunur. Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgen dik üçgendir. Geniş açılı üçgen şıkkı, en büyük açının diğerlerinin toplamından büyük olduğu durumda geçerlidir; burada eşitlik söz konusudur. Cevap D. İkizkenar üçgen şıkkı da doğru değildir; verilen koşul açıların ölçüsünü belirler, kenarların eşitliği hakkında bilgi vermez — dik üçgen ikizkenar olabilir de olmayabilir de.
ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 8 cm ve |AC| = 6 cm'dir. A açısının iç açıortayı [BC] kenarını D noktasında kestiğine göre |BD| kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 40/7
Pisagor bağıntısıyla |BC| = √(8² + 6²) = √100 = 10 cm'dir. İç açıortay teoremine göre |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 8/6 = 4/3'tür. [BC] kenarı 4 + 3 = 7 birime ayrılır: |BD| = 10 · 4/7 = 40/7 cm bulunur. 30/7 şıkkı |DC| uzunluğudur (10 · 3/7); soruda |BD| istenmektedir. Cevap C.
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 5 cm ve 8 cm'dir. Üçgenin çevresi santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre çevre kaç farklı değer alabilir?
Doğru cevap: D — 9
Üçüncü kenar x için 8 - 5 < x < 8 + 5, yani 3 < x < 13 olmalıdır. x tam sayı olduğundan 4, 5, ..., 12 değerlerini alır; bu 9 farklı değerdir. Çevre 13 + x biçiminde olduğundan çevre de 9 farklı değer alır (17'den 25'e kadar). 11 şıkkı, 3 ile 13 uç değerlerinin de sayılmasından doğar; bu değerlerde üçgen oluşmaz. Cevap D.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı, E noktası [AC] kenarı üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. |AD| = 5 cm, |DB| = 3 cm ve |BC| = 16 cm olduğuna göre |DE| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 10
[DE] // [BC] olduğundan ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı |AD| / |AB| = 5 / (5 + 3) = 5/8'dir. |DE| = 16 · 5/8 = 10 cm bulunur. 6 şıkkı, oranın |DB| / |AB| = 3/8 biçiminde kurulmasından doğar. Cevap E.
Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 10 cm'dir. Buna göre bir dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 5√2
İkizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır: a√2 = 10. a = 10/√2 = 5√2 cm bulunur. 5 şıkkı, hipotenüsün yarısının alınmasından doğar; bu değer yalnızca 30°'lik açının karşısındaki kenar için geçerlidir. Kontrol: (5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100 = 10². Cevap E.
Çevresi 40 cm olan bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 15 cm ve 13 cm'dir. Buna göre üçüncü kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 12
Çevre, üç kenarın uzunlukları toplamıdır. Üçüncü kenar 40 - (15 + 13) = 40 - 28 = 12 cm bulunur. 25 şıkkı, çevreden yalnızca bir kenarın çıkarılmasından (40 - 15) doğar. Kontrol: 12 + 13 > 15 olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanır. Cevap A.
Dik kenarlarının uzunlukları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende, iç teğet çemberin yarıçapı ile çevrel çemberin yarıçapının toplamı kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 10,5
Hipotenüs √(9² + 12²) = √225 = 15 cm'dir. Dik üçgende iç teğet çember yarıçapı r = (dik kenarlar toplamı - hipotenüs) : 2 = (9 + 12 - 15) : 2 = 3 cm'dir. Çevrel çember yarıçapı hipotenüsün yarısıdır: R = 15 : 2 = 7,5 cm. Toplam 3 + 7,5 = 10,5 cm bulunur. 7,5 şıkkı yalnızca çevrel çemberin yarıçapıdır; iç teğet çemberin yarıçapı eklenmemiştir. Cevap E.
Kenar uzunlukları x, x + 2 ve x + 4 santimetre olan bir üçgen çizilebilmektedir. x bir tam sayı olduğuna göre en az kaç olabilir?
Doğru cevap: C — 3
Üçgen eşitsizliğine göre en uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. x + (x + 2) > x + 4 ise 2x + 2 > x + 4 ve x > 2 bulunur. x tam sayı olduğundan en küçük değeri 3'tür. 2 şıkkı, eşitsizlikte eşitliğe de izin verilmesinden doğar; x = 2 için kenarlar 2, 4, 6 olur ve 2 + 4 = 6 olduğundan üçgen oluşmaz. Cevap C.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı üzerinde olup |AD| = (1/3)·|AB|'dir. E noktası [AC] kenarı üzerinde olup |AE| = (1/2)·|AC|'dir. ABC üçgeninin alanı 60 cm² olduğuna göre ADE üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C — 10
Ortak açıya sahip üçgenlerde alanların oranı, bu açıyı oluşturan kenarların oranlarının çarpımına eşittir. Alan(ADE) / Alan(ABC) = (|AD|/|AB|) · (|AE|/|AC|) = (1/3) · (1/2) = 1/6'dır. Alan(ADE) = 60 · 1/6 = 10 cm² bulunur. 30 şıkkı, yalnızca bir oranın uygulanmasından (60 · 1/2) doğar. Cevap C.
