Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Üçgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 133 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay5 orta7 zor
Bir açının ölçüsü, bütünlerinin ölçüsünün 5 katıdır. Buna göre bu açının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 150
Açının ölçüsü x ise bütünlerinin ölçüsü 180 - x'tir. Koşula göre x = 5·(180 - x), yani x = 900 - 5x ve 6x = 900 olur. Buradan x = 150° bulunur; bütünleri 30° olup 150 = 5·30 eşitliği doğrulanır. Bütünlerin ölçüsü olan 30'un işaretlenmesi, sorunun hangi açıyı sorduğunun karıştırılmasıdır. Cevap 150.
ABC üçgeninde m(A) = 90°, |AB| = 12 cm ve |AC| = 16 cm'dir. A köşesinden [BC] hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı H noktasıdır. Buna göre |BH| kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 7,2
Pisagor bağıntısından |BC| = √(12² + 16²) = √400 = 20 cm bulunur. Dik üçgende bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşittir: |AB|² = |BH|·|BC|. 144 = |BH|·20 denkleminden |BH| = 7,2 cm bulunur. Hipotenüse ait yükseklik |AH| = 12·16 : 20 = 9,6 cm olup bu değerin işaretlenmesi, izdüşüm ile yüksekliğin karıştırılmasıdır. Cevap 7,2.
ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerinde olup |BD| = |DC|'dir. E noktası [AC] kenarı üzerinde olup |AE| = 2·|EC|'dir. ABC üçgeninin alanı 72 cm²'dir. Buna göre ADE üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: E — 24
D noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan [AD] kenarortaydır ve Alan(ADC) = 72 : 2 = 36 cm²'dir. ADE ile ADC üçgenlerinin D köşesinden [AC] doğrusuna olan yükseklikleri aynıdır; alanları tabanları olan |AE| ile |AC| ile orantılıdır. |AE| = 2·|EC| olduğundan |AE| / |AC| = 2/3'tür ve Alan(ADE) = 36 · 2/3 = 24 cm² bulunur. Kalan parça olan Alan(DEC) = 12 cm²'nin işaretlenmesi, hangi üçgenin sorulduğunun karıştırılmasıdır. Cevap 24.
Bir doğru üzerinde sırasıyla A, B, C noktaları; başka bir doğru üzerinde sırasıyla D, E, F noktaları bulunmaktadır. [AD], [BE] ve [CF] doğru parçaları birbirine paraleldir. |AB| = 4 cm, |BC| = 6 cm ve |DE| = 6 cm'dir. Buna göre |EF| kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 9
Paralel doğrular, kestikleri iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır (Thales teoremi). Bu durumda |AB| / |BC| = |DE| / |EF| orantısı yazılır: 4 / 6 = 6 / |EF|. İçler dışlar çarpımından 4·|EF| = 36 ve |EF| = 9 cm bulunur. |DF| toplam uzunluğu olan 6 + 9 = 15'in işaretlenmesi, sorunun yalnızca |EF| parçasını istediğinin atlanmasıdır. Cevap 9.
ABC üçgeninde iç açıların ölçüleri m(A) = (x + 10)°, m(B) = 2x ve m(C) = (3x + 20)° biçimindedir. Buna göre m(A) kaç derecedir?
Doğru cevap: A — 35
Üçgenin iç açılarının ölçüleri (x + 10)°, (2x)° ve (3x + 20)° olduğundan, iç açılar toplamının 180° olması kuralıyla (x + 10) + 2x + (3x + 20) = 180 denklemi kurulur. Sol taraf düzenlenirse 6x + 30 = 180, yani 6x = 150 ve x = 25 bulunur. Buradan m(A) = 25 + 10 = 35°, m(B) = 2·25 = 50° ve m(C) = 3·25 + 20 = 95° olur; toplamları 180° çıktığı için sonuç doğrulanır. Soruda m(A) istendiği hâlde hesapta bulunan m(C) = 95°'yi işaretleyen öğrenci E şıkkına, m(B) = 50°'yi işaretleyen öğrenci B şıkkına gider. Cevap A.
ABC üçgeninde D noktası [BC] kenarı üzerindedir. E noktası [AD] doğru parçası üzerinde olup |AE| = 2·|ED|'dir. ABC üçgeninin alanı 45 cm² olduğuna göre BEC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D — 15
BEC üçgeni ile ABC üçgeninin ortak tabanı [BC]'dir; alanların oranı, E ve A noktalarının [BC]'ye olan uzaklıklarının oranına eşittir. E noktası [AD] üzerinde |AE| = 2·|ED| olacak biçimde bulunduğundan E'nin [BC]'ye uzaklığı, A'nın uzaklığının |ED|/|AD| = 1/3 katıdır. Alan(BEC) = 45 · 1/3 = 15 cm² bulunur. 30 şıkkı, oranın 2/3 alınmasından doğar; A'ya yakın olan parça |AE| olduğundan tabana kalan uzaklık 1/3'tür. Cevap D.
Bir üçgenin alanı 84 cm², bir kenarının uzunluğu ise 12 cm'dir. Buna göre bu kenara ait yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 14
Üçgenin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: 12·h : 2 = 84. Sol taraf sadeleştirilirse 6h = 84 elde edilir. Buradan h = 14 cm bulunur. Alan doğrudan tabana bölünüp 84 : 12 = 7 denmesi, formüldeki 2 çarpanının unutulmasıdır. Cevap 14.
ABC üçgeninde |AB| = 13 cm, |AC| = 15 cm'dir. A köşesinden [BC] kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğu 12 cm ve yüksekliğin ayağı [BC] kenarı üzerinde olduğuna göre |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 14
Yüksekliğin ayağı H olsun. ABH dik üçgeninde |BH| = √(13² - 12²) = √25 = 5 cm'dir. ACH dik üçgeninde |HC| = √(15² - 12²) = √81 = 9 cm'dir. H noktası [BC] üzerinde olduğundan |BC| = 5 + 9 = 14 cm bulunur. 4 şıkkı, iki parçanın farkının (9 - 5) alınmasından doğar; bu ancak yüksekliğin ayağı kenarın dışında kalsaydı söz konusu olurdu. Cevap E.
ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve m(A) = 100°'dir. D noktası [AC] kenarı üzerinde olup [BD], B açısının iç açıortayıdır. Buna göre m(BDC) kaç derecedir?
Doğru cevap: E — 120
İkizkenarlıktan m(B) = m(C) = (180 - 100) : 2 = 40°'dir. [BD] açıortay olduğundan m(DBC) = 40 : 2 = 20°'dir. BDC üçgeninde m(BDC) = 180 - 20 - 40 = 120° bulunur. Tepe açısının ölçüsü olan 100'ün işaretlenmesi, hangi üçgenin incelendiğinin karıştırılmasıdır. Cevap 120.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı üzerinde, E noktası [AC] kenarı üzerindedir ve [DE] // [BC]'dir. |AD| = 6 cm, |DB| = 9 cm ve |DE| = 8 cm'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 20
[DE] // [BC] olduğundan ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı |AD| / |AB| = 6 / (6 + 9) = 6 / 15 = 2 / 5'tir. |DE| / |BC| = 2 / 5 olduğundan 8 / |BC| = 2 / 5 ve |BC| = 20 cm bulunur. Oran |AD| / |DB| = 6 / 9 sanılıp 8 · 9 / 6 = 12 hesaplanırsa yanlış sonuç elde edilir; benzerlikte paydada tam kenar olan |AB| kullanılır. Cevap 20.
Bir kenarının uzunluğu 12 cm olan eşkenar üçgenin iç bölgesindeki bir noktadan üç kenara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 6√3
İç bölgedeki nokta P olsun; P köşelerle birleştirildiğinde üçgen, tabanları 12 cm olan üç üçgene ayrılır. Bu üçgenlerin alanları toplamı eşkenar üçgenin alanına eşittir: (12·h1)/2 + (12·h2)/2 + (12·h3)/2 = 12²√3/4. 6·(h1 + h2 + h3) = 36√3 ise h1 + h2 + h3 = 6√3 cm bulunur. Bu değer üçgenin yüksekliğine eşittir ve noktanın konumundan bağımsızdır. 12 şıkkı, üçgenin kenar uzunluğudur; dikmeler toplamı yüksekliğe eşittir, kenara değil. Cevap A.
Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenin alanları arasındaki fark 45 cm²'dir. Buna göre küçük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: B — 36
Benzerlik oranı 2/3 ise alanların oranı (2/3)² = 4/9'dur. Alanlar 4k ve 9k olsun: 9k - 4k = 5k = 45 ise k = 9'dur. Küçük üçgenin alanı 4 · 9 = 36 cm² bulunur. 81 şıkkı büyük üçgenin alanıdır (9 · 9); soruda küçük üçgenin alanı istenmektedir. Cevap B.
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü uzunlukları 4 cm ve 9 cm olan iki parçaya ayırmaktadır. Buna göre bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 6
Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı iki parçanın çarpımına eşittir. h² = 4·9 = 36 bağıntısı kurulur. Buradan h = 6 cm bulunur. Hipotenüsün uzunluğu 4 + 9 = 13 cm olup yarısı olan 6,5'in yükseklik sanılması, hipotenüse ait kenarortay ile yüksekliğin karıştırılmasıdır. Cevap 6.
Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. Bu yükseklik hipotenüsü iki parçaya ayırmaktadır ve parçalardan birinin uzunluğu 2 cm'dir. Buna göre diğer parçanın uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 18
Öklid bağıntısına göre hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı iki parçanın çarpımına eşittir: h² = p · k. 6² = 2 · k ise 36 = 2k ve k = 18 cm bulunur. 4 şıkkı, iki uzunluğun farkının (6 - 2) alınmasından doğar. Kontrol: hipotenüs 2 + 18 = 20 cm ve dik kenarların kareleri 2 · 20 = 40 ile 18 · 20 = 360'tır; toplamları 400 = 20²'dir. Cevap B.
ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarı üzerinde olup |AD| = 3·|DB|'dir. ABC üçgeninin alanı 80 cm²'dir. Buna göre BDC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C — 20
|AD| = 3·|DB| olduğundan |AB| = |AD| + |DB| = 4·|DB|'dir; yani |DB|, |AB|'nin dörtte biridir. ADC ve BDC üçgenlerinin C köşesinden [AB] doğrusuna olan yükseklikleri aynıdır; bu nedenle alanları tabanlarıyla orantılıdır. Alan(BDC) = 80 · 1/4 = 20 cm² bulunur. Alan(ADC) = 60 cm² olup bu değerin işaretlenmesi, hangi parçanın sorulduğunun karıştırılmasıdır. Cevap 20.
