Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çokgenler ve Dörtgenler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 113 soru kitap sırasına göre 8 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
3 kolay10 orta2 zor
Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 144°'dir. Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?
Doğru cevap: E — 10
İç açı ile dış açı bütünler olduğundan dış açının ölçüsü 180° - 144° = 36°'dir. Düzgün çokgende dış açı 360°/n olduğundan 360/n = 36 yazılır. n = 10 bulunur, yani çokgen düzgün ongendir. İç açısı 135° olan düzgün sekizgenle karıştırmak 8 (C şıkkı) hatalı sonucunu verir. Cevap E.
Bir paralelkenarın köşegenleri, paralelkenarı dört üçgensel bölgeye ayırmaktadır. Paralelkenarın alanı 60 cm² olduğuna göre bu bölgelerden birinin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C — 15 cm²
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Bu nedenle oluşan dört üçgenin tabanları ve yükseklikleri eşit olur; dördünün alanı da birbirine eşittir. Her bir bölgenin alanı 60/4 = 15 cm² bulunur. Tek bir köşegenin paralelkenarı iki eş parçaya ayırdığını düşünüp 60/2 = 30 cm² (E şıkkı) demek, ikinci köşegenin de bölme yaptığını atlamaktır. Cevap C.
Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü 24°'dir. Buna göre bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Doğru cevap: C — 2340
Düzgün çokgende dış açı 360°/n olduğundan 360/n = 24 → n = 15 bulunur. İç açıların ölçüleri toplamı (n - 2)·180° formülüyle hesaplanır. (15 - 2)·180 = 13·180 = 2340° elde edilir. Formülü (n - 1)·180 sanmak 14·180 = 2520° (D şıkkı) hatasını verir. Cevap C.
Dışbükey bir çokgende köşegenlerin sayısı, kenar sayısının 2 katıdır. Buna göre bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 7
Kenar sayısı n olan çokgende köşegen sayısı n·(n - 3)/2'dir. n·(n - 3)/2 = 2n denklemi kurulur; n ≠ 0 olduğundan iki taraf n'e bölünür. (n - 3)/2 = 2 → n - 3 = 4 → n = 7 bulunur. Köşegen formülündeki 2'ye bölmeyi unutup n·(n - 3) = 2n yazmak n = 5 (A şıkkı) hatasına götürür. Cevap B.
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, dış açılarının ölçüleri toplamının 5 katıdır. Buna göre bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?
Doğru cevap: C — 12
Dış açıların ölçüleri toplamı 360° olduğundan iç açıların toplamı 5·360 = 1800°'dir. (n - 2)·180 = 1800 eşitliği kurulur. n - 2 = 10 → n = 12 bulunur. 1800/180 = 10 sonucunu doğrudan kenar sayısı sanmak 10 (B şıkkı) hatasına yol açar. Cevap C.
[AB] // [DC] olan ABCD yamuğunda |AB| = 14 cm ve |DC| = 6 cm'dir. Köşegenler E noktasında kesişmektedir. AED üçgeninin alanı 21 cm² olduğuna göre AEB üçgeninin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: C — 49 cm²
AEB ve CED üçgenleri benzer olduğundan |BE|/|ED| = |AB|/|DC| = 14/6 = 7/3'tür. AEB ve AED üçgenlerinin A köşesinden [BD] doğrusuna olan yükseklikleri ortaktır; alanları tabanlarla, yani |BE| ile |ED| ile orantılıdır. Alan(AEB)/21 = 7/3 → Alan(AEB) = 49 cm² bulunur. Oranı ters kurup 21·(3/7) = 9 cm² (A şıkkı) demek, uzun tabana bitişik üçgenin daha büyük olduğunu gözden kaçırmaktır. Cevap C.
Bir dikdörtgenin çevresi 42 cm, alanı 108 cm²'dir. Buna göre köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 15
Çevre 2(a + b) = 42 → a + b = 21 ve alan a·b = 108 yazılır. a ve b, t² - 21t + 108 = 0 denkleminin kökleridir: t = 9 ve t = 12 bulunur. Köşegen, kenarların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür: √(9² + 12²) = √225 = 15 cm. Uzun kenar olan 12 cm'yi (B şıkkı) köşegen sanmak yanlıştır; köşegen her zaman en uzun kenardan büyüktür. Cevap E.
Bir dikdörtgenin alanı 240 cm², köşegeninin uzunluğu ise 26 cm'dir. Buna göre bu dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 68
Kenarlar a ve b olsun; a·b = 240 ve Pisagor'dan a² + b² = 26² = 676 yazılır. (a + b)² = a² + 2ab + b² = 676 + 480 = 1156 → a + b = 34 cm bulunur. Çevre = 2·(a + b) = 2·34 = 68 cm olur (kenarlar 10 cm ve 24 cm'dir). a + b = 34 değerini doğrudan çevre sanmak 34 (A şıkkı) hatasına yol açar. Cevap D.
Bir düzgün çokgenin her bir iç açısının ölçüsü 150°'dir. Buna göre bu çokgenin köşegenlerinin sayısı kaçtır?
Doğru cevap: B — 54
İç açı 150° ise dış açı 180° - 150° = 30°'dir. 360/n = 30 → n = 12 bulunur. Köşegen sayısı n·(n - 3)/2 = 12·9/2 = 54 olur. İç açıyı 156° ile karıştırıp n = 15 almak 15·12/2 = 90 (E şıkkı) hatasını verir. Cevap B.
Bir dikdörtgenin alanı 72 cm² ve uzun kenarının uzunluğu 12 cm'dir. Buna göre bu dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 36
Alan a·b = 72 ve uzun kenar 12 cm olduğundan kısa kenar 72/12 = 6 cm bulunur. Çevre = 2·(a + b) formülüyle hesaplanır. Çevre = 2·(6 + 12) = 36 cm elde edilir. Komşu iki kenarın toplamı olan 18 (A şıkkı) doğrudan çevre sanılmamalıdır. Cevap B.
[AB] // [DC] olan ABCD yamuğunda |AB| = 20 cm, |DC| = 12 cm, |AD| = 6 cm ve |BC| = 10 cm'dir. Buna göre bu yamuğun alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: D — 96 cm²
C ve D köşelerinden [AB]'ye indirilen dikmelerin ayakları arasındaki uzaklık 12 cm, kalan iki parçanın toplamı 20 - 12 = 8 cm'dir. Yükseklik h ve parçalar x ile 8 - x olsun: 36 - x² = 100 - (8 - x)² yazılır; buradan 16x = 0 → x = 0 bulunur. Demek ki [AD] ⊥ [AB]'dir, yani h = 6 cm'dir (diğer parça 8 cm olup 8² + 6² = 10² sağlanır). Alan = ((20 + 12)/2)·6 = 96 cm² bulunur. Yalnızca dikdörtgen kısmı hesaba katıp 12·6 = 72 cm² (A şıkkı) demek, kalan dik üçgeni eklemeyi unutmaktır. Cevap D.
Alanı 60 cm² olan bir dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğu 5 cm'dir. Buna göre köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: B — 13
Alan a·b = 60 ve kısa kenar 5 cm olduğundan uzun kenar 60/5 = 12 cm bulunur. Köşegen, kenarların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür: d² = 5² + 12² = 169. d = 13 cm elde edilir. Kenarları toplayıp 5 + 12 = 17 (D şıkkı) demek, Pisagor bağıntısı yerine toplama yapmaktır. Cevap B.
Bir eşkenar dörtgenin çevresi 52 cm ve köşegenlerinden birinin uzunluğu 10 cm'dir. Buna göre bu eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Doğru cevap: A — 120 cm²
Çevre 4a = 52 olduğundan bir kenar a = 13 cm'dir. Köşegenler birbirini dik ortaladığından, verilen köşegenin yarısı 5 cm ve diğer köşegenin yarısı √(169 - 25) = 12 cm olur. Diğer köşegen 24 cm'dir; alan = (10·24)/2 = 120 cm² bulunur. Alanı köşegenlerin çarpımı olarak alıp 10·24 = 240 cm² (E şıkkı) demek, ikiye bölmeyi unutmaktır. Cevap A.
Köşegeninin uzunluğu 5√2 cm olan bir karenin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 20
Karede köşegen kenarın √2 katıdır: a√2 = 5√2 → a = 5 cm bulunur. Karenin çevresi 4a formülüyle hesaplanır. Çevre = 4·5 = 20 cm olur. Yalnızca iki kenarı toplayıp 5 + 5 = 10 cm (A şıkkı) demek, karenin dört kenarı olduğunu unutmaktır. Cevap E.
Bir paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları 18 cm ve 14 cm, bir kenarının uzunluğu ise 10 cm'dir. Köşegenlerin kesim noktası O olmak üzere, kenarı [AB] olan ABO üçgeninin çevresi kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 26
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar; yarım köşegenler 9 cm ve 7 cm olur. ABO üçgeninin kenarları |AO| = 9 cm, |BO| = 7 cm ve |AB| = 10 cm'dir. Çevre = 9 + 7 + 10 = 26 cm bulunur. Köşegenleri ortalamayı unutup 18 + 14 + 10 = 42 cm (E şıkkı) demek yaygın bir hatadır. Cevap D.
