Çokgenler ve Dörtgenler — Test 6

Doğru cevap: C — 54 cm²

Karenin alanı 144 cm²'dir; AEF üçgeni, kareden üç köşe üçgeni çıkarılarak bulunur. Alan(ABE) = (12·6)/2 = 36 cm² ve Alan(ADF) = (12·6)/2 = 36 cm² olur. Alan(ECF) = (6·6)/2 = 18 cm² bulunur. Alan(AEF) = 144 - (36 + 36 + 18) = 54 cm² elde edilir. Üçgenin alanını karenin yarısı sanıp 72 cm² (E şıkkı) demek, [EF] parçasının köşegen olmadığını göz ardı etmektir. Cevap C.

Doğru cevap: B — 12

Köşegen sayısı n·(n - 3)/2 formülüyle verilir: n·(n - 3)/2 = 54. n·(n - 3) = 108 elde edilir. n = 12 için 12·9 = 108 sağlandığından çokgen onikigendir. İkiye bölmeyi unutup n·(n - 3) = 54 çözmek n = 9 (A şıkkı) hatalı sonucunu verir. Cevap B.

Doğru cevap: C — 96 cm²

Orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin kenarları, dikdörtgenin köşegenlerine paralel ve onların yarısı uzunluğundadır; bu dörtgen bir eşkenar dörtgendir. Köşelerde oluşan dört dik üçgenin alanları toplamı, dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Dikdörtgenin alanı 16·12 = 192 cm² olduğundan yeni dörtgenin alanı 192/2 = 96 cm² bulunur. Yeni dörtgenin alanını dikdörtgeninkiyle aynı sanıp 192 cm² (E şıkkı) demek, kesilen köşe üçgenlerini yok saymaktır. Cevap C.

Doğru cevap: D — 18 cm²

AEB ile BEC üçgenlerinin B köşesinden [AC] doğrusuna olan yükseklikleri ortaktır; bu yüzden alanları |AE| : |EC| oranındadır: 12/18 = 2/3. Aynı gerekçeyle AED ile CED üçgenlerinin alanları da |AE| : |EC| = 2/3 oranındadır. Alan(AED)/27 = 2/3 → Alan(AED) = 18 cm² bulunur; bu sonuç Alan(AEB)·Alan(CED) = Alan(BEC)·Alan(AED) bağıntısıyla da doğrulanır. E noktasında ters konumdaki üçgen çiftleri AEB - CED ve BEC - AED'dir; AED ile AEB ise [AE] kenarını paylaşan komşu üçgenlerdir. Bu iki komşu üçgenin alanlarını eşit sanıp 12 cm² (B şıkkı) demek yanlıştır; eşitlik ancak |BE| = |ED| olursa, yani köşegenlerden biri diğerini ortalarsa oluşur. Cevap D.

Doğru cevap: A — 36 cm²

Yamuğun yüksekliği h ise ((12 + 8)/2)·h = 100 → h = 10 cm bulunur. AEB ve CED üçgenleri benzer olduğundan E'nin [AB] ve [DC] doğrularına uzaklıkları 12 : 8 = 3 : 2 oranındadır. Bu uzaklıklar toplamı 10 cm olduğundan E'nin [AB]'ye uzaklığı 10·(3/5) = 6 cm'dir. Alan(AEB) = (12·6)/2 = 36 cm² bulunur. Yamuk alanını taban oranıyla bölüştürüp 100·(12/20) = 60 cm² (E şıkkı) demek, üçgenin yüksekliğinin yamuğunkinden küçük olduğunu göz ardı etmektir. Cevap A.

Doğru cevap: E — 150 cm²

Benzer şekillerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Alan oranı (2/5)² = 4/25 olur; 24/A = 4/25 yazılır. A = 24·(25/4) = 150 cm² bulunur. Alanları doğrudan benzerlik oranıyla ölçekleyip 24·(5/2) = 60 cm² (A şıkkı) demek, karesini almayı unutmaktır. Cevap E.

Doğru cevap: A — 70 cm²

Orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin kenarları, köşegenlere paralel ve onların yarısı uzunluktadır (Varignon paralelkenarı). Köşelerde kesilen dört üçgenin alanları toplamı, dörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu nedenle orta nokta paralelkenarının alanı, dörtgenin alanının yarısıdır: dörtgenin alanı 2·35 = 70 cm² bulunur. Bu oranı 1/4 sanıp 4·35 = 140 cm² (E şıkkı) demek yaygın bir hatadır. Cevap A.

Doğru cevap: E — 54 cm²

Paralelkenarın alanı, komşu iki kenarın uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır. Alan = 12·9·sin150° yazılır; sin150° = 1/2'dir. Alan = 108·(1/2) = 54 cm² bulunur. Üçgen alan formülüyle karıştırıp bir de 1/2 ile çarpmak 27 cm² (A şıkkı) hatasına yol açar. Cevap E.

Doğru cevap: D — 12

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşit olduğundan çevre 2·(a + b) biçimindedir. 2·(8 + u) = 40 → 8 + u = 20 yazılır. u = 12 cm bulunur. Çevreyi 4'e bölüp 10 (B şıkkı) demek, paralelkenarın tüm kenarlarını eşit sanmaktır. Cevap D.

Doğru cevap: A — 4

Kenar uzunluğu a olsun; çevre 4a, alan a²'dir. a² = 4a eşitliği kurulur; a ≠ 0 olduğundan iki taraf a'ya bölünür. a = 4 birim bulunur (çevre 16 birim, alan 16 birimkaredir). Ortak sayısal değer olan 16'yı (E şıkkı) kenar uzunluğu sanmak sık yapılan bir hatadır. Cevap A.

Doğru cevap: E — 168 cm²

Deltoidde simetri ekseni olan [AC], [BD] köşegenini dik olarak ortalar; yarısı 8 cm'dir. A köşesinden [BD]'ye olan uzaklık √(10² - 8²) = 6 cm, C köşesinden olan uzaklık √(17² - 8²) = 15 cm bulunur. A ve C, [BD]'nin farklı yanlarında olduğundan |AC| = 6 + 15 = 21 cm olur. Alan = (|AC|·|BD|)/2 = (21·16)/2 = 168 cm² bulunur. Uzaklıkları toplamak yerine çıkarıp |AC| = 15 - 6 = 9 cm almak 72 cm² (A şıkkı) hatasını verir. Cevap E.

Doğru cevap: C — 4

[EF] orta taban olduğundan uzunluğu (20 + 12)/2 = 16 cm'dir. K noktası ACD üçgeninde orta taban üzerindedir: |EK| = |DC|/2 = 6 cm; benzer şekilde |FL| = 6 cm olur. |KL| = 16 - 6 - 6 = 4 cm bulunur; bu değer (|AB| - |DC|)/2 = (20 - 12)/2 ile de elde edilir. Farkın kendisini alıp 8 cm (E şıkkı) demek, yarıya bölmeyi unutmaktır. Cevap C.

Doğru cevap: D — 15

Yamuğun alanı ((a + c)/2)·h formülüyle verilir. ((a + 9)/2)·7 = 84 → (a + 9)/2 = 12 yazılır. a + 9 = 24 → a = 15 cm bulunur. Alanı yüksekliğe bölüp elde edilen 12'yi doğrudan uzun kenar sanmak 12 (B şıkkı) hatasına yol açar; bu değer aslında orta tabandır. Cevap D.

Doğru cevap: E — 24 cm²

Paralelkenarın alanı S = 72 cm² olsun; üç köşe üçgeni çıkarılarak AEF üçgeninin alanı bulunur. Alan(ABE) = (1/2)·|BE|·h = (1/2)·(2/3)·S = (1/3)·S = 24 cm² ve Alan(ADF) = (1/2)·(1/2)·S = (1/4)·S = 18 cm² olur. Alan(ECF) = (1/2)·(1/3)·(1/2)·S = (1/12)·S = 6 cm² bulunur. Alan(AEF) = 72 - (24 + 18 + 6) = 24 cm² elde edilir. Üçgenin alanını paralelkenarın dörtte biri sanıp 18 cm² (C şıkkı) demek, köşe üçgenlerinin eşit olmadığını göz ardı etmektir. Cevap E.

Doğru cevap: B — 12

Yamuğun alanı, orta taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Orta taban x olsun: x·9 = 108 yazılır. x = 12 cm bulunur. Bulunan değeri paralel kenarların toplamı sanıp 24 cm (E şıkkı) demek, orta tabanın bu toplamın yarısı olduğunu göz ardı etmektir. Cevap B.