Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çember, Daire, Analitik Geometri ve Katı Cisim konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 132 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 4. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
1 kolay11 orta3 zor
Analitik düzlemde y = -2x + 8 doğrusunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
Doğru cevap: C — 4
Bir doğrunun x eksenini kestiği noktada ordinat sıfırdır: y = 0 yazılır. 0 = -2x + 8 → 2x = 8 elde edilir. x = 4 bulunur; doğru x eksenini (4, 0) noktasında keser. x = 0 koyup y eksenini kestiği noktanın ordinatı olan 8 (E şıkkı) ile karıştırmak sık yapılan bir hatadır. Cevap C.
Bir dik dairesel silindirin taban yarıçapı 2 katına çıkarılır, yüksekliği ise yarıya indirilirse hacmi kaç katına çıkar?
Doğru cevap: A — 2
Silindirin hacmi V = π·r²·h'dir. Yeni hacim π·(2r)²·(h/2) = π·4r²·(h/2) = 2·π·r²·h olur. Yeni hacim eskisinin 2 katıdır. Yüksekliğin yarıya inmesini hesaba katmayıp yalnızca yarıçapın karesini kullanmak 4 (C şıkkı) hatasını verir. Cevap A.
Bir ayrıtının uzunluğu 3 cm olan bir küpün cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: A — 3√3
Küpün cisim köşegeni a·√3 formülüyle bulunur. a = 3 için köşegen 3·√3 cm olur. Bu değer yaklaşık 5,2 cm'dir ve küpün bir yüzündeki köşegen olan 3√2 cm'den büyüktür. Cisim köşegenini a√3 yerine 3a alıp 9 cm (D şıkkı) demek, formülü üç ayrıtın toplamıyla karıştırmaktır. Cevap A.
Analitik düzlemde 2x + 3y - 12 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(3, 1) noktasından geçen doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Doğru cevap: D — 3
2x + 3y - 12 = 0 doğrusu y = (-2/3)x + 4 biçimindedir; eğimi -2/3'tür. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan aranan doğru y - 1 = (-2/3)(x - 3) biçiminde yazılır. Düzenlenirse y = (-2/3)x + 3 elde edilir; x = 0 için y = 3 bulunur. Eğimin işaretini +2/3 alıp y = (2/3)x - 1 yazmak ordinatı -1 (B şıkkı) yapar ki bu yanlıştır. Cevap D.
Yarıçapı 9 cm olan bir kürenin hacmi, taban yarıçapı 9 cm olan bir dik dairesel koninin hacmine eşittir. Buna göre bu koninin yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 36
Kürenin hacmi (4/3)·π·9³ = (4/3)·π·729 = 972π cm³'tür. Koninin hacmi (1/3)·π·9²·h = 27π·h biçimindedir. 27π·h = 972π → h = 36 cm bulunur (genel olarak h = 4r'dir). Koni hacminde 1/3 çarpanını unutup π·81·h = 972π yazmak h = 12 cm (A şıkkı) hatasını verir. Cevap E.
Bir küpün tüm yüzey alanı 96 cm²'dir. Buna göre bu küpün cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Doğru cevap: C — 4√3
Küpün tüm yüzey alanı 6a² = 96 olduğundan a² = 16 → a = 4 cm bulunur. Küpün cisim köşegeni a·√3 formülüyle hesaplanır. Köşegen = 4√3 cm elde edilir. Cisim köşegenini bir yüzün köşegeni ile karıştırıp a√2 = 4√2 cm (A şıkkı) demek yaygın bir hatadır. Cevap C.
Taban yarıçapı 6 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 10 cm olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: E — 96π cm³
Koninin yüksekliği, yarıçap ve ana doğrunun oluşturduğu dik üçgenden bulunur: h = √(10² - 6²) = √64 = 8 cm. Hacim V = (1/3)·π·r²·h formülüyle hesaplanır. V = (1/3)·π·36·8 = 96π cm³ bulunur. Yüksekliği yarıçapla karıştırıp (1/3)·π·36·6 = 72π cm³ (C şıkkı) demek yaygın bir hatadır. Cevap E.
Taban yarıçapı 5 cm olan bir dik dairesel silindirin tüm yüzey alanı 90π cm²'dir. Buna göre bu silindirin yüksekliği kaç cm'dir?
Doğru cevap: D — 4
Silindirin tüm yüzey alanı 2·π·r² + 2·π·r·h biçimindedir. 2·π·25 + 2·π·5·h = 90π → 50 + 10h = 90 yazılır. 10h = 40 → h = 4 cm bulunur. İki tabanın alanını eklemeyi unutup 2·π·5·h = 90π yazmak h = 9 cm (E şıkkı) hatasını verir. Cevap D.
Bir çemberin dış bölgesindeki P noktasından çizilen iki kesen çemberi kesmektedir. Bu iki kesenin arasında kalan yaylardan P'ye uzak olanının ölçüsü 120°, yakın olanının ölçüsü 40° olduğuna göre m(P) kaç derecedir?
Doğru cevap: C — 40
Çemberin dışındaki bir noktada oluşan açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısıdır. m(P) = (120° - 40°)/2 yazılır. m(P) = 80/2 = 40° bulunur. Farkı ikiye bölmeyi unutup 80 (E şıkkı) demek, dış açı bağıntısındaki yarım katsayısını atlamaktır. Cevap C.
Analitik düzlemde A(-2, 1) noktasından geçen ve 2x - y + 5 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun eğimi kaçtır?
Doğru cevap: B — -1/2
2x - y + 5 = 0 doğrusu y = 2x + 5 biçimine getirilir; eğimi 2'dir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir: 2·m = -1 yazılır. m = -1/2 bulunur; A noktası eğimi değiştirmez. Diklik yerine paralellik koşulu kullanılırsa eğim 2 (E şıkkı) bulunur ki bu yanlıştır. Cevap B.
Dik kenarlarının uzunlukları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgen, 12 cm'lik dik kenarı etrafında 360° döndürülüyor. Buna göre oluşan dönel cismin hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: C — 324π cm³
Dik üçgen bir dik kenarı etrafında döndürülünce dik dairesel koni oluşur. Dönme ekseni 12 cm'lik kenar olduğundan koninin yüksekliği 12 cm, taban yarıçapı 9 cm olur. V = (1/3)·π·9²·12 = (1/3)·π·972 = 324π cm³ bulunur. Hacimde 1/3 çarpanını unutup π·81·12 = 972π cm³ (E şıkkı) demek, koniyi silindir gibi hesaplamaktır. Cevap C.
Bir dik dairesel silindirin yanal yüzeyinin açınımı, bir kenarının uzunluğu 10 cm olan bir karedir. Buna göre bu silindirin hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: C — 250/π cm³
Yanal yüzeyin açınımı bir dikdörtgendir; bir kenarı taban çemberinin uzunluğu, diğeri silindirin yüksekliğidir. Açınım kare olduğundan 2·π·r = 10 → r = 5/π cm ve h = 10 cm bulunur. V = π·r²·h = π·(25/π²)·10 yazılır. V = 250/π cm³ elde edilir. π ile bölmek yerine çarpıp 250π cm³ (E şıkkı) demek, r = 5/π ifadesindeki paydayı gözden kaçırmaktır. Cevap C.
Taban yarıçapı 5 cm olan bir dik dairesel koninin tüm yüzey alanı 90π cm²'dir. Buna göre bu koninin hacmi kaç cm³'tür?
Doğru cevap: A — 100π cm³
Koninin tüm yüzey alanı π·r² + π·r·ℓ biçimindedir: 25π + 5π·ℓ = 90π yazılır. 5ℓ = 65 → ℓ = 13 cm bulunur; yükseklik h = √(13² - 5²) = √144 = 12 cm olur. V = (1/3)·π·25·12 = 100π cm³ elde edilir. Hacimde 1/3 çarpanını unutup π·25·12 = 300π cm³ (E şıkkı) demek, koniyi silindir gibi hesaplamaktır. Cevap A.
O merkezli bir çemberin yarıçapı 9 cm'dir. Çemberin dışındaki P noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T olup |PT| = 12 cm'dir. Buna göre |OP| kaç cm'dir?
Doğru cevap: E — 15
Teğetin değme noktasına çizilen yarıçap teğete diktir; OTP üçgeni T köşesinde dik olur. |OP|² = |OT|² + |PT|² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 yazılır. |OP| = 15 cm bulunur. Uzunlukları çıkarıp 12 - 9 = 3 cm (A şıkkı) demek, Pisagor bağıntısı yerine fark almaktır. Cevap E.
Taban yarıçapı 4 cm, ana doğrusunun uzunluğu 12 cm olan bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin açınımı bir daire dilimidir. Buna göre bu daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?
Doğru cevap: B — 120
Açınımdaki daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu, yayı ise koninin taban çemberinin uzunluğudur. Taban çemberi 2·π·4 = 8π cm, yarıçapı 12 cm olan tam çemberin uzunluğu 2·π·12 = 24π cm'dir. Merkez açı = 360°·(8π/24π) = 360°/3 = 120° bulunur. Taban çevresini 2πr yerine πr = 4π alıp 360·(4π/24π) = 60° (A şıkkı) demek sık yapılan bir hatadır. Cevap B.
