Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 126 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 7. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
6 kolay6 orta3 zor
a^3 - b^3 = 56 ve a - b = 2 olduğuna göre a^2 + ab + b^2 kaçtır?
Doğru cevap: A — 28
Küp farkı özdeşliği: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). 56 = 2 · (a^2 + ab + b^2) → a^2 + ab + b^2 = 28. C (54), çarpanlar arasındaki ilişkiyi bölme yerine çıkarma sanıp 56 - 2 işlemini yapanların sonucudur. Cevap A.
a + b = 7 ve a^2 + b^2 = 29 olduğuna göre a^3 + b^3 kaçtır?
Doğru cevap: C — 133
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 → 49 = 29 + 2ab → ab = 10. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 7 · (29 - 10) = 7 · 19 = 133. D (203), ikinci çarpanda ab'yi çıkarmayı unutup 7 · 29 işlemini yapanların sonucudur. Cevap C.
a^2 - b^2 = 24 ve a + b = 6 olduğuna göre a kaçtır?
Doğru cevap: D — 5
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) olduğundan 24 = (a - b) · 6 → a - b = 4. a + b = 6 ve a - b = 4 denklemleri toplanırsa 2a = 10 → a = 5 bulunur. C (4), a - b farkını bulup a değerini hesaplamadan yanıt olarak yazanların sonucudur. Cevap D.
(3x + 2)^2 - (3x - 2)^2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — 24x
İki kare farkı olarak yazılır: [(3x + 2) - (3x - 2)] · [(3x + 2) + (3x - 2)]. Birinci parantez 4, ikinci parantez 6x olur: 4 · 6x = 24x. D (24x^2), iki parantezi çarparken x çarpanlarının da çarpıldığını sanıp derece yükseltenlerin sonucudur. Cevap E.
x^2 + 12x + 36 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (x + 6)^2
Baş terim x^2, son terim 6^2 ve orta terim 2 · x · 6 = 12x'tir. İfade tam kare açılımıdır: (x + 6)^2. C ((x - 6)(x + 6)), son terim 36 tam kare olduğu için doğrudan iki kare farkı uygulayan, ancak orta terimi gözden kaçıranların sonucudur. Cevap B.
8x^3 - 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)
Küp farkı özdeşliği: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Burada a = 2x ve b = 1 alınır: (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1). B ((2x - 1)(4x^2 - 2x + 1)), ikinci çarpandaki orta terimin işaretini küp toplamı özdeşliğindeki gibi eksi yazanların sonucudur. Cevap D.
x^3 - 4x ifadesinin çarpanlarına tam olarak ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — x(x - 2)(x + 2)
Önce ortak çarpan alınır: x^3 - 4x = x(x^2 - 4). Parantez içi iki kare farkıdır: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Buna göre ifade x(x - 2)(x + 2) olur. A (x(x - 4)(x + 4)), parantez içindeki 4'ü kare olarak değil doğrudan sayı olarak kullananların sonucudur. Cevap E.
(a + b)^2 - (a - b)^2 = 48 ve a = 6 olduğuna göre b kaçtır?
Doğru cevap: B — 2
(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab özdeşliği kullanılır. 4 · 6 · b = 48 → 24b = 48 → b = 2 bulunur. A (1), özdeşliği 4ab yerine 8ab sanıp 48/48 işlemini yapanların sonucudur. Cevap B.
a + b = 12 ve a - b = 4 olduğuna göre a · b kaçtır?
Doğru cevap: B — 32
İki denklem toplanırsa 2a = 16 → a = 8, buradan b = 4 olur. a · b = 8 · 4 = 32 bulunur. D (64), (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab özdeşliğinde 128 sonucunu 4 yerine 2'ye bölenlerin sonucudur. Cevap B.
x = 76 olmak üzere (x^2 - 25)/(x + 5) ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 71
Pay iki kare farkıdır: x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5). (x + 5) sadeleşir ve ifade x - 5 olur: 76 - 5 = 71. E (81), sadeleştirmeden sonra x - 5 yerine x + 5 yazanların sonucudur. Cevap C.
9 - 16y^2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (3 - 4y)(3 + 4y)
İfade iki kare farkıdır: 9 = 3^2 ve 16y^2 = (4y)^2. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) özdeşliğiyle (3 - 4y)(3 + 4y) bulunur. A ((3 - 4y)^2), kare farkını tam kare ile karıştıranların sonucudur. Cevap B.
a + 1/a = 3 olduğuna göre a^4 + 1/a^4 kaçtır?
Doğru cevap: C — 47
Önce karesi alınır: (a + 1/a)^2 = a^2 + 2 + 1/a^2 = 9 → a^2 + 1/a^2 = 7. Bu kez bulunan değerin karesi alınır: (a^2 + 1/a^2)^2 = a^4 + 2 + 1/a^4 = 49. a^4 + 1/a^4 = 49 - 2 = 47 bulunur. D (49), ikinci adımdaki 2'yi çıkarmayı unutanların sonucudur. Cevap C.
x = 999 olmak üzere (x^3 + 1)/(x^2 - x + 1) ifadesinin değeri kaçtır?
Doğru cevap: E — 1000
Pay küp toplamıdır: x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1). Ortak çarpan sadeleşir ve ifade x + 1 olur. 999 + 1 = 1000 bulunur. D (999), sadeleştirmeden sonra x + 1 yerine x'i yazanların sonucudur. Cevap E.
x^3 + 125 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — (x + 5)(x^2 - 5x + 25)
Küp toplamı özdeşliği: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). Burada a = x ve b = 5 alınır: (x + 5)(x^2 - 5x + 25). D ((x + 5)(x^2 - 10x + 25)), ikinci çarpanı tam kare (x - 5)^2 sanarak orta terimi -5x yerine -10x yazanların sonucudur. Cevap A.
x^3 - 7x + 6 ifadesinin çarpanlarından biri (x - 1) olduğuna göre ifadenin tam olarak çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — (x - 1)(x - 2)(x + 3)
İfade (x - 1) ile bölünürse bölüm x^2 + x - 6 olur. x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) biçiminde ayrılır. Buna göre ifade (x - 1)(x - 2)(x + 3) olur. A ((x - 1)(x + 2)(x - 3)), ikinci basamaktaki çarpanların işaretlerini ters yazan, yani orta terimi -x veren dağılımı seçenlerin sonucudur. Cevap E.
