Çözümlü sorular · okuma modu
KPSS Matematik dersinin Basit Eşitsizlikler konusundan 15 soru ve her birinin ayrıntılı çözümü. Konudaki 123 soru kitap sırasına göre 9 teste bölünmüştür; bu sayfa 8. testtir. Soruyu önce kendin çöz, ardından Çözümü göster'e dokunup doğru cevabı ve gerekçesini oku. Süre tutarak, şık işaretleyerek ve sonucunu kaydederek çözmek istersen interaktif testi başlat.
4 kolay5 orta6 zor
x negatif bir tam sayı olmak üzere 5 - 2x ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: E — 7
İfadenin en küçük olması için -2x çarpımının en küçük olması, yani x'in en büyük olması gerekir. x negatif tam sayı olduğundan en büyük değeri -1'dir. x = -1 için 5 - 2·(-1) = 7 bulunur. Sıfırı da negatif tam sayı sanan öğrenci x = 0 alır ve 5 bulur; oysa 0 ne negatif ne pozitiftir. Cevap E.
-4 ≤ x ≤ -1 olduğuna göre, x^2 ifadesinin alabileceği değerlerin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [1, 16]
Aralıktaki bütün değerler negatiftir; mutlak değer en küçük -1'de, en büyük -4'tedir. Kare alındığında en küçük değer (-1)^2 = 1, en büyük değer (-4)^2 = 16 olur. x sürekli değiştiğinden x^2 bu iki değer arasındaki bütün değerleri alır: [1, 16]. Kare alırken işaretin korunduğunu sanan öğrenci [-16, -1] aralığını seçer; bir gerçel sayının karesi negatif olamaz. Cevap E.
-5 ≤ 3x + 1 ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — [-2, 2]
Her taraftan 1 çıkarılır: -6 ≤ 3x ≤ 6. Her taraf pozitif 3'e bölünür: -2 ≤ x ≤ 2. Eşitlikler korunduğundan çözüm aralığı [-2, 2] olur. Yalnızca sol tarafı 3'e bölüp sağ sınırı olduğu gibi bırakan öğrenci [-2, 6] aralığını seçer. Cevap D.
(2x - 1)/3 ≥ 3 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı x değeri kaçtır?
Doğru cevap: C — 5
Her iki taraf pozitif 3 ile çarpılır: 2x - 1 ≥ 9. Sabit sağa geçirilir: 2x ≥ 10 ve 2'ye bölünerek x ≥ 5 bulunur. Eşitlik de sağlandığından en küçük tam sayı değeri 5'tir. Sabiti karşı tarafa geçirirken işaret değiştirmeyi unutup 2x ≥ 8 yazan öğrenci x ≥ 4 bulur ve 4'ü işaretler. Cevap C.
5 < x < 12 ve 2 < y < 4 olduğuna göre, x - 2y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Doğru cevap: C — 10
Önce 2y aralığı bulunur: 2 < y < 4 ise 4 < 2y < 8 ve ters çevrilirse -8 < -2y < -4. Taraf tarafa toplanır: 5 - 8 < x - 2y < 12 - 4, yani -3 < x - 2y < 8. Bu aralıktaki tam sayılar -2'den 7'ye kadar olan 10 sayıdır. Uç değerleri de sayan öğrenci -3 ile 8'i ekleyip 12 bulur. Cevap C.
x^4 - 5x^2 + 4 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 4
İfade çarpanlarına ayrılır: (x^2 - 1)(x^2 - 4) ≤ 0. Bu eşitsizlik 1 ≤ x^2 ≤ 4 anlamına gelir; yani x'in mutlak değeri 1 ile 2 arasındadır. Çözüm -2 ≤ x ≤ -1 veya 1 ≤ x ≤ 2 olup buradaki tam sayılar -2, -1, 1, 2 olmak üzere 4 tanedir. x = 0 değerini de çözüme katan öğrenci 5 der; oysa x = 0 için ifade 4 olur ve eşitsizlik sağlanmaz. Cevap A.
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: A — 0
Kökler 1, 2, 3 ve 4'tür; hepsi tek katlıdır ve her kökte işaret değişir. En sağdaki aralıkta ifade pozitiftir; soldan sağa işaretler +, -, +, -, + biçimindedir. Buna göre ifade yalnızca 1 < x < 2 ve 3 < x < 4 aralıklarında negatiftir; bu aralıklarda hiç tam sayı bulunmadığından cevap 0'dır. Çözüm kümesini 1 < x < 4 sanan öğrenci 2 ile 3'ü sayarak 2 der; oysa bu değerlerde ifade sıfırdır. Cevap A.
(x^2 - 9)/(x + 1)^2 ≤ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: E — [-3, -1) ∪ (-1, 3]
Payda (x + 1)^2 çarpanı, tanımlı olduğu her yerde pozitiftir; bu nedenle ifadenin işaretini yalnızca pay belirler. x^2 - 9 ≤ 0 eşitsizliğinden -3 ≤ x ≤ 3 bulunur. Ancak x = -1 değeri paydayı sıfır yaptığından çözümden çıkarılır: [-3, -1) ∪ (-1, 3]. Paydanın karesi alındığı için işareti etkilemediğini doğru görüp x = -1 kısıtını unutan öğrenci [-3, 3] seçeneğini işaretler. Cevap E.
x^3 < x eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: D — (-∞, -1) ∪ (0, 1)
Bütün terimler sola toplanır: x^3 - x < 0, yani x(x - 1)(x + 1) < 0. Kökler -1, 0 ve 1'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan en sağdaki aralıkta ifade pozitiftir ve her tek katlı kökte işaret değişir: soldan sağa -, +, -, +. İfade x < -1 ve 0 < x < 1 için negatiftir; kökler kesin eşitsizlik nedeniyle çözüme alınmaz. İşaret tablosunu ters okuyan öğrenci (-1, 0) ∪ (1, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap D.
x^2 + 5x + 6 > 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: B — (-∞, -3) ∪ (-2, ∞)
İfade çarpanlarına ayrılır: (x + 2)(x + 3) > 0. Kökler -3 ve -2'dir. Baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitiftir: x < -3 veya x > -2. Eşitsizlik kesin olduğundan kökler çözüme alınmaz. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci (-3, -2) seçeneğini işaretler. Cevap B.
-2 ≤ x ≤ 4 olduğuna göre, 3 - x^2 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Doğru cevap: D — -13
İfadenin en küçük olması için çıkarılan x^2 teriminin en büyük olması gerekir. Aralıkta mutlak değeri en büyük sayı 4 olduğundan x^2 en fazla 16 olur. x = 4 için 3 - 16 = -13 bulunur. x'in en küçük değeri olan -2'yi kullanan öğrenci 3 - 4 = -1 bulur; oysa kare alındığında -2 değil 4 belirleyicidir. Cevap D.
-3 < x < 2 ve 1 < y < 4 olduğuna göre, x/y ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Doğru cevap: B — -2
Bölüm en küçük değerine x en küçük (-3'e yakın) ve y en küçük (1'e yakın) iken yaklaşır: -3. En büyük değerine ise x en büyük (2'ye yakın) ve y en küçük iken yaklaşır: 2. Uç değerler alınamadığından -3 < x/y < 2 olur; buradaki tam sayılar -2, -1, 0, 1 ve toplamları -2'dir. Uç değerlerin de alınabileceğini sanan öğrenci -3 ile 2'yi de toplayıp -3 bulur. Cevap B.
a < b < 0 < c olduğuna göre, (a - b) · c çarpımının işareti aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: A — negatif
a < b olduğundan a - b farkı negatiftir. c > 0 olduğundan negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı elde edilir; bu çarpım negatiftir. a ve b'nin ikisi de negatif olduğu için farklarının pozitif olacağını sanan öğrenci sonucu pozitif kabul eder; belirleyici olan a ile b'nin sıralamasıdır. Cevap A.
(x - 2)/(x^2 - 1) ≥ 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru cevap: C — (-1, 1) ∪ [2, ∞)
Payda çarpanlarına ayrılır: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Kökler -1, 1 ve 2'dir. İşaret tablosunda ifade -1 < x < 1 ve x > 2 için pozitiftir. x = 2 payı sıfır yaptığından çözüme dâhildir; -1 ve 1 ise paydayı sıfır yaptığından dâhil değildir. Payda köklerini de çözüme katan öğrenci [-1, 1] ∪ [2, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap C.
−2 < 5 − x ≤ 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Doğru cevap: B — 6
Çifte eşitsizliğin her tarafından 5 çıkarılır: −7 < −x ≤ −1 elde edilir. Eşitsizlik −1 ile çarpılırken yön değişir ve uçlar yer değiştirir: 1 ≤ x < 7 olur. Bu aralıktaki tam sayılar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak üzere 6 tanedir; 7 değeri katı eşitsizlik nedeniyle dışarıda kalır. C seçeneğindeki 7, sağ uçtaki 7'nin de çözüme katılmasından, yani −1 ile çarparken eşitliğin hangi uca geçtiğinin gözden kaçırılmasından doğar. A seçeneğindeki 5 ise sol uçtaki 1 değerinin dışarıda bırakılmasından kaynaklanır; oysa x = 1 için 5 − x = 4 olur ve eşitsizlik eşitliğe izin verir. Cevap B.
