Mutlak Değer — Test 7

Doğru cevap: B — 1

Eşitsizlik -1 < x - 3 < 1 biçiminde yazılır. Her tarafa 3 eklenirse 2 < x < 4 bulunur. Bu aralıktaki tek tam sayı 3 olduğundan cevap 1'dir. Eşitsizliği '≤' sanıp 2 ile 4'ü de sayan öğrenci 3 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: C — 6

Birinci koşul: |x + 3| ≥ 2 ise x + 3 ≤ -2 veya x + 3 ≥ 2, yani x ≤ -5 veya x ≥ -1. İkinci koşul: |x| ≤ 4 ise -4 ≤ x ≤ 4. İki koşulun kesişimi -1 ≤ x ≤ 4 aralığıdır; buradaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 6 tanedir. x = -1 değerinde |x + 3| = 2 olduğu hâlde eşitliği çözüme katmayan öğrenci 5 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: A — 1

Birinci durum: x - 2 = 2x - 7 → x = 5. Bu değerde sağ taraf 2·5 - 7 = 3 olup negatif değildir, kök geçerlidir. İkinci durum: -(x - 2) = 2x - 7 → 2 - x = 2x - 7 → x = 3. Bu değerde sağ taraf 2·3 - 7 = -1 olup negatiftir; mutlak değer negatif olamayacağından bu kök geçersizdir. Geriye tek geçerli kök kalır. Sağlama yapmadan her iki durumu da kök kabul eden öğrenci 2 der. Cevap A.

Doğru cevap: D — -5

İki mutlak değerin eşitliğinde içler ya eşittir ya da birbirinin ters işaretlisidir. Birinci durum: x - 4 = 2x + 1 → x = -5. İkinci durum: x - 4 = -(2x + 1) → 3x = 3 → x = 1. Köklerin çarpımı: (-5) · 1 = -5. Çarpım yerine köklerin toplamını hesaplayan öğrenci -5 + 1 = -4 bulur. Cevap D.

Doğru cevap: A — 3 - x

x < 3 olduğundan x - 3 farkı negatiftir. Mutlak değer içi negatif olduğunda ifade işaret değiştirerek çıkar: |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x. Örneğin x = 0 için |0 - 3| = 3 ve 3 - 0 = 3 uyumludur. İçi olduğu gibi bırakan öğrenci x - 3 yazar; bu ifade verilen koşulda negatif değer alacağından mutlak değere eşit olamaz. Cevap A.

Doğru cevap: C — {-5, 5}

Mutlak değeri 5 olan sayılar, sayı doğrusunda sıfıra uzaklığı 5 birim olan sayılardır. Bu koşulu hem 5 hem de -5 sağlar; çözüm kümesi {-5, 5} olur. Yalnızca pozitif kökü yazan öğrenci {5} kümesini işaretler; mutlak değer denklemlerinde negatif hâl de incelenmelidir. Sıfırı da çözüme katan öğrenci ise {-5, 0, 5} kümesini seçer; oysa |0| = 0 olup 5'e eşit değildir. Cevap C.

Doğru cevap: C — 18

Mutlak değer içi 9 ya da -9 olabilir: 4 - x = 9 → x = -5 ve 4 - x = -9 → x = 13. Büyük değerden küçük değer çıkarılır: 13 - (-5) = 18. Soruda farkın istendiğini gözden kaçırıp köklerin toplamını hesaplayan öğrenci -5 + 13 = 8 bulur. Cevap C.

Doğru cevap: B — -48

|a| = 6 için a = 6 veya a = -6; |b| = 8 için b = 8 veya b = -8'dir. Aynı işaretli seçimlerde |a + b| = 14 olur; bu koşulu sağlamaz. Zıt işaretli seçimlerde |a + b| = |6 - 8| = 2 olur ve koşul sağlanır. Her iki durumda da çarpım 6·(-8) = -48 ya da (-6)·8 = -48'dir. İşaretleri göz ardı edip mutlak değerleri çarpan öğrenci 48 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: E — 7

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatların farkının mutlak değeridir: |AB| = |-4 - 3|. |-7| = 7 olduğundan uzunluk 7 birimdir. Fark yerine toplam alan öğrenci |-4 + 3| = 1 bulur; uzaklık daima farkla hesaplanır. Cevap E.

Doğru cevap: D — -a - b

a negatif, b pozitif ve a'nın mutlak değeri daha büyük olduğundan a + b toplamı negatiftir. Mutlak değer içi negatif olduğunda ifade işaret değiştirir: |a + b| = -(a + b) = -a - b. Örneğin a = -5 ve b = 2 için |a + b| = |-3| = 3 ve -a - b = 5 - 2 = 3 uyumludur. Mutlak değeri doğrudan kaldırıp a + b yazan öğrenci hata yapar; bu ifade verilen koşulda negatiftir. |a + b| = |a| + |b| sanan öğrenci ise -a + b, yani b - a ifadesini seçer; eşitlik ancak a ile b aynı işaretli olduğunda geçerlidir. Cevap D.

Doğru cevap: D — 10

Üçgen eşitsizliğinden |a - c| = |(a - b) + (b - c)| ≤ |a - b| + |b - c| = 6 + 4 = 10 olur. Eşitlik, a - b ile b - c aynı işaretli olduğunda sağlanır; örneğin b = 0, a = 6, c = -4 için |a - c| = 10'dur. En büyük yerine en küçük değeri hesaplayan öğrenci |6 - 4| = 2 bulur; 2 değeri alt sınırdır. Cevap D.

Doğru cevap: C — 4

Mutlak değer içi 3 ya da -3 olabilir. Birinci durum: x^2 - 4 = 3 → x^2 = 7 → x = √7 ve x = -√7. İkinci durum: x^2 - 4 = -3 → x^2 = 1 → x = 1 ve x = -1. Her iki durum da gerçel kök verdiğinden toplam 4 farklı kök vardır. Yalnızca x^2 = 1 durumunu dikkate alan öğrenci 2 der. Cevap C.

Doğru cevap: A — ∅

Bir gerçel sayının mutlak değeri uzaklık belirttiğinden hiçbir zaman negatif olamaz. Sağ taraf -2 negatif olduğundan denklemi sağlayan hiçbir x değeri yoktur; çözüm kümesi boş kümedir. Kuralı işletip x + 3 = 2 ve x + 3 = -2 durumlarını çözen öğrenci {-5, -1} bulur; oysa denklemin bu biçimde çözülebilmesi için sağ tarafın negatif olmaması gerekir. Cevap A.

Doğru cevap: E — -4

Aranan noktalar |x - (-2)| = 5, yani |x + 2| = 5 koşulunu sağlar. x + 2 = 5 → x = 3 ve x + 2 = -5 → x = -7 bulunur. Koordinatların toplamı: 3 + (-7) = -4. Yalnızca sola doğru sayan öğrenci tek noktayı (-7) bulur ve onu cevap sanır. Cevap E.

Doğru cevap: C — 5

Eşitsizlik -7 ≤ 3x + 2 ≤ 7 biçiminde yazılır. Her taraftan 2 çıkarılır: -9 ≤ 3x ≤ 5. Her taraf pozitif 3'e bölünür: -3 ≤ x ≤ 5/3. Bu aralıktaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1 olmak üzere 5 tanedir. Alt sınır olan -3 değerini eşitlik sağlandığı hâlde çözüme katmayan öğrenci 4 bulur. Cevap C.