Mutlak Değer — Test 8

Doğru cevap: A — -8

Koşul mutlak değerle yazılır: |x - 4| = 2·|x + 2|. Birinci durum: x - 4 = 2(x + 2) → x - 4 = 2x + 4 → x = -8. İkinci durum: x - 4 = -2(x + 2) → x - 4 = -2x - 4 → 3x = 0 → x = 0. Sayıların toplamı: -8 + 0 = -8. Yalnızca ikinci durumu çözen öğrenci tek kök bulur ve 0 der. Cevap A.

Doğru cevap: B — 10

Önce mutlak değerler hesaplanır: |-3| = 3, |4| = 4, |-6| = 6 ve |3| = 3. İşlem önceliğine göre çarpma ve bölme yapılır: 3 · 4 = 12 ve 6 ÷ 3 = 2. Son olarak çıkarma yapılır: 12 - 2 = 10. İşlem önceliğini gözetmeyip soldan sağa ilerleyen ve (12 - 6) ÷ 3 hesaplayan öğrenci 2 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: C — 4

|x| = t denirse t^2 - 3t + 2 = 0 olur ve (t - 1)(t - 2) = 0 çarpanlarından t = 1 ile t = 2 bulunur. |x| = 1 eşitliğinden x = 1 ve x = -1; |x| = 2 eşitliğinden x = 2 ve x = -2 elde edilir. Böylece dört farklı gerçel kök vardır. t değerlerini doğrudan kök sanıp yalnızca 1 ve 2'yi yazan öğrenci 2 der; her mutlak değer eşitliği iki kök verir. Cevap C.

Doğru cevap: B — 2

İçteki mutlak değerler hesaplanır: |-5| = 5 ve |3| = 3. Fark alınır: 5 - 3 = 2 ve dıştaki mutlak değerle |2| = 2 bulunur. İçteki iki mutlak değeri çıkarmak yerine toplayan öğrenci 5 + 3 = 8 bulur. Cevap B.

Doğru cevap: D — 5

x < 1 olduğundan x - 1 negatiftir: |x - 1| = 1 - x. x > -4 olduğundan x + 4 pozitiftir: |x + 4| = x + 4. Toplanır: (1 - x) + (x + 4) = 5. İfade bu aralıkta x'ten bağımsız olarak 5'e eşittir. Örneğin x = 0 için 1 + 4 = 5 bulunur. Her iki mutlak değerin içini de olduğu gibi alan öğrenci (x - 1) + (x + 4) = 2x + 3 yazar. Cevap D.

Doğru cevap: B — 5

İfade tam kareye tamamlanır: x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4. |x - 2| = 3 olduğundan (x - 2)^2 = 9'dur. Yerine konur: 9 - 4 = 5. Nitekim x = 5 için 25 - 20 = 5 ve x = -1 için 1 + 4 = 5 bulunur. x = 5 kökünü bulup ifadeyi x^2 - 4 biçiminde okuyan öğrenci 21 der. Cevap B.

Doğru cevap: E — (-∞, -1)

Eşitsizlik, x sayısının 3'e olan uzaklığının -5'e olan uzaklığından büyük olması demektir. İki noktanın orta noktası (3 + (-5))/2 = -1 olduğundan bu koşulu -1'in solundaki sayılar sağlar. Aynı sonuç kareler karşılaştırılarak da bulunur: (x - 3)^2 > (x + 5)^2 → -6x + 9 > 10x + 25 → -16x > 16 → x < -1. Eşitsizliği ters okuyup 3'e daha yakın noktaları alan öğrenci (-1, ∞) seçeneğini işaretler. Cevap E.

Doğru cevap: B — (-∞, -4] ∪ [2/3, ∞)

İki taraf da negatif olmadığından kareleri karşılaştırılabilir: (2x + 1)^2 ≥ (x - 3)^2. Düzenlenir: 4x^2 + 4x + 1 ≥ x^2 - 6x + 9, yani 3x^2 + 10x - 8 ≥ 0 ve (3x - 2)(x + 4) ≥ 0. Kökler -4 ve 2/3'tür; baş katsayı pozitif olduğundan ifade kökler dışında pozitiftir ve köklerde sıfır olur. Çözüm kümesi (-∞, -4] ∪ [2/3, ∞) olur. İşaret tablosunu ters okuyup kökler arasını yazan öğrenci [-4, 2/3] seçeneğini işaretler. Cevap B.

Doğru cevap: D — 16

|x| değerine göre durumlar incelenir. |x| = 0 ise |y| = 4 olur ve (0, 4) ile (0, -4) ikilileri elde edilir: 2 ikili. |x| = 1, 2 veya 3 ise x için 2, y için 2 seçenek bulunur: 3 · 2 · 2 = 12 ikili. |x| = 4 ise y = 0 olmak zorundadır: (4, 0) ve (-4, 0) olmak üzere 2 ikili. Toplam: 2 + 12 + 2 = 16. x ya da y'nin sıfır olduğu uç durumları atlayan öğrenci yalnızca 12 ikili sayar. Cevap D.

Doğru cevap: A — 5

Kritik noktalar 1 ve 3'tür. x < 1 için ifade (1 - x) + (3 - x) = 4 - 2x olur ve 4 - 2x < 5 koşulundan x > -1/2 gelir. 1 ≤ x ≤ 3 için ifade sabit 2'dir ve eşitsizlik daima sağlanır. x > 3 için ifade 2x - 4 olur ve 2x - 4 < 5 koşulundan x < 9/2 gelir. Çözüm -1/2 < x < 9/2 aralığıdır; buradaki tam sayılar 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tanedir. Aralığı -1 ≤ x ≤ 5 gibi genişleten öğrenci 7 bulur. Cevap A.

Doğru cevap: A — 10

Birinci koşul: -6 ≤ x - 4 ≤ 6, yani -2 ≤ x ≤ 10. İkinci koşul: x + 2 ≤ -3 veya x + 2 ≥ 3, yani x ≤ -5 veya x ≥ 1. Kesişim 1 ≤ x ≤ 10 aralığıdır; buradaki tam sayılar 10 tanedir. İkinci koşulu göz ardı edip yalnızca -2 ≤ x ≤ 10 aralığını sayan öğrenci 13 bulur. Cevap A.

Doğru cevap: C — 64

Dıştaki mutlak değer çözülür: |x| - 3 = 1 veya |x| - 3 = -1, yani |x| = 4 ya da |x| = 2. Buradan kökler x = 4, x = -4, x = 2 ve x = -2 olmak üzere dört tanedir. Çarpım: 4 · (-4) · 2 · (-2) = 64. Yalnızca |x| = 4 durumundaki kökleri çarpan öğrenci -16 bulur; her iki durumun kökleri de hesaba katılmalıdır. Cevap C.

Doğru cevap: C — 2

|t|/t ifadesi t pozitifken 1, negatifken -1 değerini alır. x ve y pozitifse çarpımları da pozitiftir: 1 + 1 + 1 = 3. x ve y'den biri negatifse çarpım negatif olur: 1 + (-1) + (-1) = -1 (diğer sırada da aynıdır). x ve y'nin ikisi de negatifse çarpım pozitiftir: (-1) + (-1) + 1 = -1. Alınabilen farklı değerler 3 ve -1 olup toplamları 2'dir. Yalnızca her iki sayının da pozitif olduğu durumu düşünen öğrenci 3 der. Cevap C.

Doğru cevap: D — -35

Eşitsizlik -6 ≤ x + 1 ≤ 6 biçiminde yazılır; buradan -7 ≤ x ≤ 5 bulunur. En büyük tam sayı 5, en küçük tam sayı -7'dir. Çarpımları: 5 · (-7) = -35. Çarpım yerine toplam hesaplayan öğrenci 5 + (-7) = -2 bulur. Cevap D.

Doğru cevap: A — −20

Mutlak değerlerin sıfır yaptığı kritik noktalar −3 ve 2 olduğundan sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır. x < −3 bölgesinde her iki ifade de negatiftir: −(x + 3) − (x − 2) = −2x − 1 = 9 denkleminden x = −5 bulunur ve bölgeye uyar. −3 ≤ x ≤ 2 bölgesinde toplam sabit 5 olduğundan 9'a eşitlenemez, bu bölgede çözüm yoktur. x > 2 bölgesinde (x + 3) + (x − 2) = 2x + 1 = 9 denkleminden x = 4 bulunur ve bölgeye uyar. Kökler −5 ile 4 olduğundan çarpımları −20'dir. C seçeneğindeki −1, çarpım yerine köklerin toplamının yazılmasından doğar. E seçeneğindeki 20 ise çarpımda işaretlerin gözden kaçırılmasından, yani |−5|·4 hesaplanmasından kaynaklanır. Cevap A.